Версия для печати

Файл в формате pdf

УДК 622.011.43

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ

Аршинов Г.А. – к. ф.-м. н.

Кубанский государственный аграрный университет

Исследуются условия возникновения уединенных продольных волн в физически и геометрически нелинейных вязкоупругих стержнях.

В бесконечном стержне, свободном от внешних воздействий, отнесенном к системе координат с осью x, расположенной вдоль осевой линии стержня, и осями y,  –  в одном из поперечных сечений, перемещения точек стержня аппроксимируются функциями

,,,                         (1)

где – соответственно перемещения по осям x, y, z;  – время, – коэффициент Пуассона,   .

Деформации стержня задаются тензором Грина:

                                (2)

где               

Реологические свойства стержня определяются уравнениями квадратичной теории вязкоупругости [1]:

, (3)

где , – параметры Ламе,  – объемное расширение,  – символы Кронекера  – компоненты девиатора деформаций,  -реологические константы материала,  – интенсивность деформаций.

Интегральные операторы в уравнениях (3) заменяются дифференциальными путем разложения функций

в ряд Тейлора по степеням .

При условии быстрого затухания памяти материала  в разложениях можно сохранить два слагаемых ряда и записать

где введены операторы

,                ,

действующие на функцию  по правилам

,             .

Компоненты девиатора деформаций:

,

,

,

,

где    .          

Уравнение движения стержня выводится из вариационного принципа так же, как в работе [2] , и преобразуется к безразмерным переменным

, , , , ,

где  – амплитудный параметр возмущения, , d – соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны,  – характеристика нелинейности волнового процесса.

Если длина волны l  значительно превосходит амплитудный параметр А, т. е.  – малый параметр, а поперечные размеры стержня и реологические постоянные  определяют отношения порядков

, , ,

где  – характерный размер поперечного сечения,

то безразмерное уравнение движения стержня примет вид:

+   (4)

+,

где , а звездочки отброшены.

Функцию  представим в виде асимптотического разложения:  и подставим в  уравнение (4). Из  нулевого приближения следует уравнение:  

 ,

  где  – модуль упругости.

Так как    то скорость распространения волны

Из первого приближения вытекает модифицированное уравнение Кортевега де Вриза – Бюргерса:

,               (5)

где     ,,  ,  .

Точное решение уравнения (5) находится из сингулярного многообразия

,                                               (6)

где  – неизвестные функции независимых переменных.

Подстановка (6) в уравнение (5) дает

,

где функция  удовлетворяет уравнению (5).

В результате. Подстановка в последнее равенство функции   приводит к точному решению уравнения (5) в виде:

                ,          (7)

где    – произвольный параметр.

Далее исследуются случаи, когда полученное решение описывает структуру ударных волн.

1)    Пусть   и  ,

тогда                        

и

.

В итоге

.

Если , то при выбранных условиях в стержне возникает уединенная ударная волна растяжения , если   – волна сжатия .

2)    Пусть  и ,

тогда

и

                    .

В результате

.

Если     или   , то при указанных условиях в оболочке возникает ударная волна растяжения .

Если     или    , то при выбранных условиях  – ударная волна сжатия .

Из проведенного исследования следует: как при , так  и   в случае выполнения условия  в физически и геометрически нелинейном вязкоупругом стержне возникает уединенная ударная волна растяжения. Если выполняется условие , то образуется ударная волна сжатия.

Как и в линейном случае [2], при переходе к размерным переменным получается поправка к скорости распространения волны  .

Список литературы

1. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972.

2.  Аршинов Г.А. Математическая модель продольных колебаний  и эволюционные уравнения для линейно-вязкоупругого стержня  // Научный журнал КубГАУ. 2004. № 3 (5). http: //ej.kubagro.ru.