Версия для печати

Файл в формате pdf

УДК 622.011.43

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗМЕРОВ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ УСТОЙЧИВОСТЬ ПОДЗЕМНЫХ ПОЛОСТЕЙ В ВЯЗКОУПРУГИХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ

Аршинов Г.А. – канд. физ.-мат. наук

Кубанский государственный аграрный университет

Методом конечных элементов определяется поле напряжений в окрестности осесимметричных полостей, сооружаемых в вязкоупругой среде. Для оценки их допустимых размеров используется статистическая теория хрупкого разрушения и полученные компоненты напряжений в массиве с полостью.

В основу исследования допустимых размеров подземных полостей положена статистическая теория хрупкого разрушения [1], согласно которой процесс разрушения материала зависит от местного напряжения в точке, где встречается наиболее опасный дефект структуры. Чем крупнее тело, тем больше вероятность обнаружить первичный элемент низкой прочности. Если n – среднее число дефектов в единице объема тела, F(σ) – функция распределения дефектов, равная вероятности выявить дефектный элемент, местный предел прочности которого меньше σ, и допускается, что разрушение произойдет в случае превышения напряжением σ минимального предела прочности в совокупности nV дефектов, то функция распределения пределов прочности тела представима в виде [1]:

. (1)

Пусть σ есть некоторое приведенное напряжение, полученное по какой-нибудь теории прочности для однородного поля напряжений. Если число nV достаточно велико и функция F_V (σ) удовлетворяет условиям:

а) F_v (σ} = 0 при σ, F(σ)>0 при σ>;

б) при достаточно малых величинах e > 0 имеет место

,

где с и a – некоторые положительные числа,

то при больших значениях nV справедливо асимптотическое представление F_V (σ) [1]:

, (2)

где – минимальное значение прочности дефектного элемента, в предельном случае равное нулю. Если в (2) произвести замену cn =1/V₀σ_c^a, где V₀ , например, объем стандартного образца, σ_с – константа с размерностью напряжения, то

. (3)

В случае неоднородного напряженного состояния область V разбивается на микрообъемы V_к, в каждом из которых поле напряжений близко к однородному. Вероятность сохранения прочности тела в целом равна произведению вероятностей сохранения прочности каждого микрообъема _DV_k , поэтому вероятность разрушения объема V вычисляется по формуле

, (4)

где суммирование ведется по тем объемам _DV_k, в которых σσ_n⁰, т.е. по области возможного разрушения.

Авторы работы [2] оценивают допустимые размеры выработок в горных породах, сравнивая вероятности разрушения проектируемой и некоторой успешно эксплуатируемой (эталонной) выработок, вычисляемые по формуле

, (5)

где – приведенное напряжение, определяемое по критерию прочности, а интеграл берется по области вероятного разрушения V_p (≥σ_n⁰).

Предполагается, что проектируемая полость будет устойчивой, если вероятность ее разрушения не превысит вероятности разрушения эталонной емкости, т.е.

P ≤ P_'. (6)

В зависимости от геометрии полости величина интеграла в (5) пропорциональна квадрату или кубу ее характерного размера. С учетом (5), (6), получается отношение характерных размеров проектируемой и эталонной полостей

где индексом э отмечены величины, соответствующие эталонной полости.

Зная параметры, входящие в (7), и размеры эталона, можно найти величину характерного размера проектируемой емкости. Авторы статьи [2] отмечают, что по косвенным признакам сложно оценить условия успешной эксплуатации, поэтому в качестве эталона проще выбирать устойчивые не эксплуатируемые выработки и желательно сопоставлять геометрически подобные хранилища, что накладывает ограничения на выбор эталона.

В работе [2] исследовались протяженные горизонтальные выработки, имеющие в поперечном сечении эллипс или квадрат. На основе линейной огибающей Мора и полей напряжений, полученных методами плоской задачи теории упругости, строятся зоны вероятного разрушения в окрестности выработок и для различных значений параметров σ_с, d, σ_n⁰, a табулируются интегральные функции в (5).

Методика определения допустимых размеров, предложенная в [2], применялась в исследовании прочных размеров осесимметричных полостей, сооружаемых в вязкоупругих массивах соляных пород. Экспериментальные исследования прочностных свойств соляных пород свидетельствуют о применимости критерия Мора к анализу прочности стенок подземных сооружений, возводимых в соляных отложениях. Поэтому в расчетах использовались:

линейный критерий Мора

, (8)

где σ₁,σ₂ – главные напряжении (σ₁> σ₃), d – угол внутреннего трения породы,

и нелинейная огибающая Мора

, (9)

где – напряжения разрушения при одноосных сжатии и растяжении, a,b – параметры, принимающие для одного из видов каменной соли числовые значения a =2, b =1, ,, – главные напряжения.

Предполагалось, что проектируемое хранилище будет возведено в соляной толще с такими же прочностными характеристиками, как и соль, в которой сооружена эталонная полость.

В расчетах зон разрушения использовались компоненты исходного поля линейно-упругих напряжений вблизи полостей исследуемых форм, определяемые методом конечных элементов. Релаксация напряжений, вызываемая вязкоупругостью каменной соли, не учитывалась, поскольку снижала их начальную максимальную концентрацию. Для аппроксимации массива с полостью применялись неравномерные сетки кольцевых конечных элементов треугольного поперечного сечения. После замены интегрирования суммированием по конечным элементам, соотношение (9) было преобразовано к виду:

. (11)

В проведенных расчетах σ_n⁰ изменялось в сегменте [0, σ_с] с шагом 0,25 σ_с (σ_с – средний предел прочности образцов каменной соли на одноосное сжатие), а a выбиралось из интервала (0,5) с шагом 1. Параметры d и c варьировались соответственно в промежутках (0,25°) с шагом 5° и в (0,1– 0,5) с шагом 0,1.

Расчетные напряжения, зоны вероятного разрушения и соотношение (11) позволили оценить допустимые размеры полостей различной геметрии. Эталонной считалась шаровая полость радиуса R и предполагалось, что исследуемые полости будут сооружены на той же глубине и при тех же прочностных параметрах соляных пород, что и эталонная. Определялась величина отношения a/R, в котором а – радиус осесимметричной проектируемой полости.

В таблицах 1,2 представлены расчетные значения отношения a/R, полученные на основе вышеназванных критериев прочности для различных осесимметричных полостей. Из этих данных следует, что увеличение параметров a и σ_n⁰ вызывает уменьшение объема полостей, равнопрочных шаровой, причем с возрастанием отношения характерных размеров в/а (в – половина высоты полости) увеличивается и объем хранилища, т.е. при прочих равных условиях емкости с отношением в/а = 0,4 более объемны в сравнении с подобными им, но более вытянутыми (в/а = 0,2). Среди расчетных равнопрочных конфигураций наибольшими объемами обладают шаровая и цилиндрическая с шаровыми торцами (в/а = 0,4) полости.

Список литературы

1. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. М., 1965.

2. Кислер Л.Н. Об оценке прочности подземных емкостей различной формы в соляных отложениях / Л.Н. Кислер, Н. М. Крюкова, В.А. Мазуров // Труды ВНИИпромгаза. 1971. Вып. 5.