Версия для печати

Файл в формате pdf

УДК 539.3:534:532.5

Нелинейные уединенные ударно-волновые структуры в вязкоупругих стержнях

Аршинов Г.А. – канд. физ.-мат. наук, доцент

Кубанский государственный аграрный университет

Лаптев В.Н. – канд. техн. наук, доцент

Кубанский государственный аграрный университет

Елисеев Н.И. – аспирант

Краснодарский военный институт им. С.М. Штеменко

Предложен вывод уравнений движения геометрически нелинейного вязкоупругого стержня с учетом инерции поперечных движений и использования неклассических кинематических уравнений. Проанализирован общий случай, когда вязкоупругие свойства проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. Для эволюционного уравнения Кортевега де Вриза – Бюргерса, к которому сводятся методом возмущений полученные уравнения движения, определено точное решение, описывающее продольные уединенные волны. Определены условия формирования ударно-волновых структур деформации сжатия и растяжения стержня.

В работе [1] исследуются уединенные нелинейные волны в упругих стержнях. Дисперсионные нелинейные волны в вязкоупругих стержнях при упругих объемных деформациях рассмотрены в монографии [2]. В отличие от [2] в предлагаемой cтатье проанализирован более общий случай распространения уединенных волн, когда вязкоупругие свойства стержня проявляются при объемных и сдвиговых деформациях.

Рассмотрим бесконечный стержень неизменного поперечного сечения, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий. Введем систему координат, направив ось  вдоль линии центров тяжести поперечных сечений, а оси  и  расположим в одном из них. Учитывая инерцию поперечных движений, аппроксимируем перемещения точек стержня функциями [1]

       ,                                    (1)

где – соответственно перемещения по осям x, y, z,  – время, - коэффициент Пуассона.

Конечные деформации стержня зададим соотношениями тензора Грина:

                                          (2)

предполагая, что ,    

Воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости для описания наследственных реологических свойств стержня [3]

,                              (3)

где  - соответственно компоненты девиаторов напряжений и деформаций;  − среднее напряжение,  - объемное расширение,  − модуль объемной деформации,  - параметр Ламе;  - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е - модуль Юнга; - коэффициент Пуассона.

С целью упрощения исследования интегральные операторы в уравнениях (3) заменим дифференциальным разложением функции  в ряд Тейлора по степеням (), ограничиваясь при этом двумя слагаемыми, при условии >>1.

В результате получаем приближенные формулы для компонент напряжений

,                                                  (4)

где введен оператор L, определяемый равенством  и действующий на функцию  по правилу , а  − параметр Ламе.

Формулы (4) представим в развернутом виде:

;

;

;

или

;

;

;

,

где    

,     , ,

,       ,     .

Уравнение движения стержня получим из вариационного принципа

,                                 (5)

где точкой обозначена производная по t, r - плотность материала стержня, - вариации деформаций,  – вариации перемещений, а тройной интеграл вычисляется по объему стержня.

Вычислим вариации деформаций стержня

,

,

,

.

Определим вариацию внутренней энергии стержня, используя формулы (4), а также вариации компонент деформации

+

+

+.

После преобразований приходим к равенству:

                    +.

Уравнение движения стержня получим из (5) после подстановки в него значения вариации внутренней энергии:

После преобразования уравнение представим в виде:

.

В последнем уравнении движения перейдем к безразмерным переменным

          , , , , ,

где  – амплитудный параметр возмущения; , d – соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны,  – характеристика нелинейности волнового процесса.

Допустим, что  – малый параметр, т.е. характерная длина волны  значительно превосходит амплитудный параметр , а поперечный размер стержня и реологические постоянные  определяют отношения порядков

                                       ,    .

Пренебрегая членами порядка выше, чем , получаем безразмерное уравнение движения стержня:

            (6)

Для анализа уравнения (6) применим метод возмущений. Представим функцию в виде асимптотического разложения

.                                                        (7)

Осуществим подстановку асимптотического разложения (7) в уравнение (6), и с учетом введенных соотношений порядков в нулевом приближении получим

                                .

Согласно условию , из последнего уравнения найдем скорость распространения продольной волны в линейно-вязкоупругом стержне

.                                                          (8)

Из формулы (8) при , т.е. отсутствии свойства вязкости, вытекает известная формула для скорости распространения продольной волны в линейно-упругом стержне:

          .

Для разрешимости уравнения относительно неизвестной функции  в разложении (7), полученном из первого приближения, необходимо, чтобы u удовлетворяло известному уравнению Кортевега де Вриза – Бюргерса:

,                                            (9)

где ,  , .

При исследовании продольных волн в линейно-вязкоупругих стержнях были введены малый параметр и отношение порядков из которого следует ~ d^2.. Таким образом, для возникновения уединенной волны в стержне требуется условие, связывающее характерный линейный размер стержня, амплитуду и длину волны.

В работе [4] представлено подробное описание точного решения этого уравнения (9):

                    ,                (10)

где

,           

или

,

где              

,        .

Используя следующие обозначения

                    , ,     ,

получим выражение:

                    .

При  запишем неравенства вида          ,  и найдем коэффициенты с₁, с₂, с_3:

,   ;  ,  имеет знак ,

, .

Если в уравнениях выбран верхний знак “+”, то с учетом  и  уравнение примет вид:

где              

          .

Согласно условию , получим ,

где                                           

, а .

При  

.

Производную представим следующим выражением:

.

Из уравнения  найдем критические точки функции. В ходе преобразований получаем: . Функция  будет максимальна в точке, определенной значением , являющимся корнем уравнения:

.

Тогда максимальное значение функции найдем по формуле

,

которую можно записать в виде

.

Вышеприведенный анализ показывает, что при ранее указанных условиях решение уравнения (9) будет иметь структуру ударной волны, т.е. в линейно-вязкоупругом стержне образуется ударная волна растяжения .

На рисунке представлена зависимость деформации от перемещения и введены обoзначения:

Возвращаясь к размерным переменным

),

определим поправку к скорости распространения волны, согласно выражению:

.

Список литературы

1. Потапов А.И. Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах. Горький: Изд-во Горьк. гос. ун-та, 1985.

2. Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ им. Н.И. Вавилова, 2002, 146 с.

3. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972.

4. Кудряшов Н.А. Точные решения нелинейных волновых уравнений, встречающихся в механике // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. Вып. 3. С. 450–453.