Версия для печати

Файл в формате pdf

УДК 539.3:534:532.5

Эволюционное уравнение продольных уединенных волн в вязкоупругой бесконечной пластине и его точное решение

Аршинов Г.А. – канд. физ.-мат. наук, доцент

Кубанский государственный аграрный университет

Выводятся уравнения движения геометрически нелинейной вязкоупругой пластины, используются неклассические кинематические уравнения. Рассмотрен общий случай, когда вязкоупругие свойства проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. Полученные уравнения методом возмущений сводятся к эволюционному уравнению Кортевега де Вриза – Бюргерса – Петвиашвили, для которого определяется точное решение, описывающие продольные двумерные уединенные волны. Указываются условия, при которых формируются ударно-волновые структуры деформации пластины.

Уединенные нелинейные волны в нелинейных упругих пластинах исследуются в работе [1]. В работе [2] изучаются дисперсионные нелинейные волны в вязкоупругих пластинах при упругих объемных деформациях. В данной статье предлагается обобщение результатов, полученных в [2], когда вязкоупругие свойства пластины проявляются при объемных и сдвиговых деформациях.

Для исследования распространения нелинейных дисперсионных волн в бесконечной вязкоупругой пластине толщиной 2h, изготовленной из материала наследственного типа и свободной от внешних воздействий, построим математическую модель волнового процесса.

С помощью кинематических соотношений определим компоненты вектора перемещений точек пластины при симметричных по толщине колебаниях и невысоких частотах [2]

  v; , (1)

где  и v - функции, определяющие поле перемещений в срединной плоскости пластины соответственно по осям  и ,  - перемещения по оси z,   - время.

Конечные деформации пластины зададим соотношениями тензора Грина

 (2)

предполагая, что ,   .

Воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости для описания наследственных реологических свойств пластины [3]

, (3)

где  - соответственно компоненты девиаторов напряжений и деформаций;   − среднее напряжение,   - объемное расширение,  − модуль объемной деформации,  - параметр Ламе;  - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е - модуль Юнга; - коэффициент Пуассона.

С помощью формулы (1) определим компоненты деформаций по формулам (2) и их вариации . Из закона состояния (3) найдем компоненты тензора напряжений .

Далее, руководствуясь вариационным принципом

, 

где  - плотность материала пластины,  - вариации деформаций,  - вариации перемещений, точкой обозначена производная по времени,

получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины:

 =  .

 = v_xv_y)] + v_y)  .

 =  (4)

 + +

,

где введены следующие обозначения:

, (5)

, (6)

 - поправочный коэффициент.

Для наследственных материалов с быстро затухающей памятью, когда , систему уравнений (4) можно упростить. Заменим в выражениях (5) и (6) интегральные операторы дифференциальными, разлагая функции ,  в ряды Тейлора по степеням () и сохраняя в полученных разложениях два слагаемых.

В итоге получим аппроксимации

, , (7)

где введены операторы

, ,

действующие на функцию  по правилу

, .

Введем ряд обозначений: А – амплитуда колебаний, l – длина волны и   – малый параметр, позволяющий исследовать длинные волны малой амплитуды.

Заменим в системе (4)  и  их приближениями (7) и перейдем к безразмерным переменным:

, v = v^*, , , ,  . (8)

Исследуем безразмерные уравнения движения пластины с помощью асимптотического метода. Неизвестные функции запишем в виде асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:

, v = (v₁ + v₂ +…),  . (9)

Если величины , ,  – одного порядка малости, то разложения (9) можно подставить в безразмерные уравнения движения пластины.

Обозначенные отношения порядков позволяют для первых членов разложений составить следующую систему уравнений:

  (10)

  = 0, (11)

из которой следует, что

, (12)

где , .

Скорость волны найдем исходя из уравнения (10) и с учетом формулы (12):

 . (13)

Далее для вторых членов разложений (9) составим систему трех уравнений:

v +  

 (14)

v = v+ .  (15)

v)+

. (16)

В ходе интегрирования уравнения (15) по переменной  и с учетом формулы (12) получим равенство:

v= .

Принимая во внимание последнее равенство и формулу (12), продифференцируем уравнение (16) по  и приведем его к виду:

. (17)

Приравнивая сумму последних трех слагаемых в уравнении (14) к левой части уравнения (17), умноженной на , с учетом выражения (13) можно записать следующее:

 v++ 

 .

В ходе тождественных преобразований последнего уравнения, используя обозначение , получим эволюционное уравнение Кадомцева – Петвиашвили – Бюргерса

, (18)

 ,

 .

Найдем точное решение уравнения (18) из сингулярного многообразия вида:

, (19)

где  – неизвестные функции независимых переменных.

В результате подстановки выражения (19) в уравнение Кадомцева – Петвиашвили – Бюргерса можно записать равенство:

, (20)

где  удовлетворяет условию (20) и вычисляется следующим образом:

. (21)

Подставив функцию  в равенство (20), приходим к точному решению уравнения КПБ:

 , (22)

где  – произвольный параметр, ,

или

,

где

 . (23)

Волну растяжения, соответствующую неравенству, получим, если в формуле (23) оставим знак «+». При этом  и точное решение уравнения Кадомцева – Петвиашвили – Бюргерса описывает ударно-волновую структуру.

Возвращаясь к размерным переменным, запишем функцию

,

согласно которой найдем поправку к скорости распространения волны:

.

Список литературы

1. Потапов А.И. Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах. Горький: Изд-во Горьк. гос. ун-та, 1985.

2. Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ им. Н.И. Вавилова, 2002. 146 с.

3. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972.