|
УДК 539.3:534:532.5
Продольные нелинейные волны в вязкоупругих стержнях, пластинах
и цилиндрических оболочках
Аршинов Г.А. – канд. физ.-мат. наук, доцент
Кубанский государственный аграрный университет
Исследуются нелинейные дисперсионные волны в тонкостенных
элементах конструкций из линейно-вязкоупругого материала наследственного
типа. Для стержня и пластины рассмотрен общий случай, когда
вязкоупругие свойства проявляются при объемных и сдвиговых
деформациях. Уравнения движения, выведенные методом возмущений,
сводятся к эволюционным уравнениям Кортевега де Вриза – Бюргерса
для стержня и Кадомцева – Петвиашвили – Бюргерса для пластины
и цилиндрической оболочки. Для стержня и пластины использованы
неклассические кинематические уравнения, в то время как для
оболочки принята модель Кирхгофа – Лява.
Рассмотрим бесконечный стержень неизменного поперечного сечения,
свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий.
Введем систему координат, направив ось вдоль линии центров тяжести поперечных сечений,
а оси и расположим в одном из них. Учитывая инерцию поперечных
движений, аппроксимируем перемещения точек стержня функциями
[1]
, (1)
где – соответственно перемещения по осям x, y, z, – время, - коэффициент Пуассона.
Конечные деформации стержня зададим соотношениями:
(2)
предполагая, что ,
В отличие от [2] рассмотрим общий случай, когда вязкоупругие
свойства стержня проявляются при объемных и сдвиговых деформациях.
Воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости для описания
наследственных реологических свойств стержня [3]
, (3)
где - соответственно компоненты девиаторов напряжений и
деформаций; − среднее напряжение, - объемное расширение, − модуль объемной деформации, - параметр Ламе; - константы, определяющие реологические
свойства стержня; Е - модуль Юнга; - коэффициент Пуассона.
С целью упрощения исследования интегральные операторы в уравнениях
(3) заменим дифференциальными разложением функций в
ряд Тейлора по степеням (), ограничиваясь при этом двумя слагаемыми,
при условии >>1.
В результате получаем приближенные формулы для компонент напряжений
, (4)
где введенный оператор действует на функцию по правилу , а − параметр Ламе.
Формулы (4) представим в развернутом виде:
,
,
,
или
,
,
,
,
где
, , ,
, , .
Уравнение движения стержня получим из вариационного принципа
, (5)
где точкой обозначена производная по t, r- плотность
материала стержня, - вариации деформаций, – вариации перемещений, а тройной
интеграл вычисляется по объему стержня.
Вычислим вариации деформаций стержня
,
,
,
.
Определим вариацию внутренней энергии стержня, используя формулы
(4), а также вариации компонент деформации
+
+.
После преобразований приходим к равенству:
+.
Уравнение движения стержня получим из (5) после подстановки
в него значения вариации внутренней энергии:
.
После преобразования уравнение представим в виде:
.
В последнем уравнении движения перейдем к безразмерным переменным:
, , , , ,
где – амплитудный параметр возмущения; , d – соответственно характерные
длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны, – характеристика нелинейности волнового процесса.
Примем допущение, что – малый параметр, т.е. характерная
длина волны значительно превосходит амплитудный параметр , а поперечный размер стержня и реологические постоянные определяют отношения порядков
, .
Пренебрегая членами порядка выше, чем , получаем безразмерное уравнение движения стержня:
(6)
Для анализа уравнения (6) применим метод возмущений. Представим
функцию в виде асимптотического разложения
(7)
Осуществим подстановку асимптотического разложения (7) в уравнение
(6). С учетом введенных соотношений порядков в нулевом приближении
получим
.
Согласно условию , из последнего уравнения найдем скорость
распространения продольной волны в линейно-вязкоупругом стержне
. (8)
Из формулы (8) при , т.е. отсутствии свойства вязкости,
вытекает известная формула для скорости распространения продольной
волны в линейно-упругом стержне:
.
Для разрешимости уравнения относительно неизвестной функции в разложении (7), полученном из первого приближения,
необходимо, чтобы uудовлетворяло известному уравнению Кортевега де Вриза
– Бюргерса:
,
где , , .
С целью исследования распространения нелинейных дисперсионных
волн в бесконечной вязкоупругой пластине толщиной 2h, изготовленной
из материала наследственного типа и свободной от внешних воздействий,
построим математическую модель волнового процесса.
С помощью кинематических соотношений определим компоненты
вектора перемещений точек пластины при симметричных по толщине
колебаниях и невысоких частотах [2]
v; , (9)
где и v- функции, определяющие поле перемещений в срединной
плоскости пластины по осям и соответственно, - перемещения по оси z, -
время.
Зададим физические соотношения между напряжениями и деформациями
уравнениями линейной наследственной теории вязкоупругости (3),
содержащими экспоненциальное разностное ядро, обобщая результаты
[2] на тот случай, когда вязкоупругие свойства среды проявляются
при объемных и сдвиговых деформациях.
С помощью формулы (9) определим компоненты деформаций по формулам
(2) и их вариации . Из закона состояния (3) найдем
компоненты тензора напряжений .
Далее, руководствуясь вариационным принципом
,
где - плотность материала пластины, - вариации деформаций, - вариации перемещений, точкой обозначена
производная по времени,
получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины:
= .
= vxvy)] + vy) .
= (10)
+ +
,
где введены следующие обозначения:
, (11)
, (12)
- поправочный коэффициент.
Для наследственных материалов с быстро затухающей памятью,
когда , систему уравнений (10) можно упростить. Заменим в
выражениях (11) и (12) интегральные операторы дифференциальными,
разлагая функции , в ряды Тейлора по степеням () и сохраняя в полученных разложениях
два слагаемых.
В итоге получим аппроксимации
, , (13)
где введены операторы
, ,
действующие на функцию по правилу
, .
Введем ряд обозначений: А – амплитуда колебаний, l –
длина волны и – малый параметр, позволяющий нам исследовать длинные
волны малой амплитуды.
Заменим в системе (10) и их приближениями (13) и перейдем к безразмерным
переменным:
, v = v*, , , , .
(14)
Исследуем безразмерные уравнения движения пластины с помощью
асимптотического метода. Неизвестные функции запишем в виде
асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих
безразмерных переменных:
, v = (v1 + v2 +…), . (15)
Если величины , , – одного порядка малости, то разложения
(15) можно подставить в безразмерные уравнения движения пластины.
Обозначенные отношения порядков позволяют для первых членов
разложений составить следующую систему уравнений:
(16)
= 0, (17)
из которой следует, что
, (18)
где , .
Из уравнения (16) найдем скорость волны с учетом формулы (18):
. (19)
Далее для вторых членов разложений (15) составим систему трех
уравнений:
v +
(20)
v = v+ .
(21)
v)+
. (22)
В ходе интегрирования уравнения (21) по переменной и с учетом формулы (18) получим равенство v= .
Принимая во внимание последнее равенство и формулу (18), продифференцируем
уравнение (22) по и приведем его к виду:
+ (23)
.
Приравнивая сумму последних трех слагаемых в уравнении (20)
к левой части уравнения (23), умноженной на ,
с учетом выражения (19) можно записать следующее:
v++
.
В ходе тождественных преобразований последнего уравнения,
используя обозначение , получим эволюционное уравнение Кадомцева
– Петвиашвили – Бюргерса:
,
где
,
.
Выведем эволюционное уравнение для бесконечной однородной
цилиндрической оболочки толщиной и радиуса , выполненной из линейного вязкоупругого материала и
работающей в условиях гипотезы Кирхгофа –Лява и отсутствия
инерции вращения. Оболочку отнесем к цилиндрической системе
координат, направляя ось по образующей оболочки, – по касательной к осевому сечению, – по нормали к срединной поверхности оболочки, и допустим
отсутствие объемных и поверхностных сил.
Гипотеза Кирхгофа – Лява приводит к компонентам деформаций
[4]:
.
. (24)
,
где компоненты перемещения точек срединной поверхности соответственно
по осям ; верхний индекс zуказывает на то,
что компоненты деформаций определены в слое, удаленном на расстоянии
z от срединной поверхности; – кривизна оболочки.
Связь между компонентами напряжения и деформаций зададим уравнениями
линейной теории вязкоупругости, учитывающей линейную упругость
объемных деформаций:
,
, (25)
где – модуль Юнга, – параметр Ламе, – коэффициент Пуассона, – время; – параметры вязкоупругости, – компоненты девиатора деформаций.
Разлагая функции в ряд Тейлора по степеням , при условии быстрого затухания памяти материала и
сохранения двух членов разложения, из соотношений (25) получим
приближенные уравнения состояния:
, , ,
где введены обозначения
,
и оператор , действующий на функцию по правилу
Используя последние формулы для напряжений, вычислим усилия
и моменты, действующие на выделенный элемент оболочки по формулам
[4]
, , ,
, , ,
и подставим усилия и моменты в уравнения движения оболочки
.
.
,
где – плотность материала.
Введем безразмерные переменные
, . (26)
Рассмотрим волны малой амплитуды и большой длины. Будем считать
толщину оболочки h малой по сравнению с радиусом кривизны и
малыми безразмерные параметры:
, . (27)
Допустим, что эквивалентны , тогда как эквивалентно .
Перейдем в уравнениях движения к безразмерным переменным (26).
Совершим замену переменных
,
где – неизвестная величина,
и одновременно представим в виде следующих асимптотических
разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных
переменных:
Тогда, полагая параметр эквивалентным , в нулевом приближении из уравнений
движения получим:
. (27)
. (28)
, (29)
где .
В силу уравнения (29) из уравнения (27) получаем скорость
волны:
(30)
где
При скорость – ненулевая, действительная величина.
Из неравенства следует, что Последнее неравенство выполняется, если или что возможно при соответствующем выборе .
В первом приближении получим систему уравнений, условием разрешимости
которой является уравнение Кадомцева – Петвиашвили –Бюргерса
для :
,
где введены обозначения:
,
.
Список литературы
1. Работнов Ю.М. Механика деформируемого твердого тела.
М.: Наука, 1979. 744 с.
2. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов.
М.: Наука, 1972.
3. Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические
задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ им Н.И. Вавилова,
2002, 146 с.
4. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек.
М.: Наука, 1972.
|