Версия для печати

Файл в формате pdf

УДК 622.011.43

КВАЗИСТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВЯЗКОУПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ПОЛОСТЬЮ

Аршинов Г. А. – к. ф.-м. н.

Кубанский государственный аграрный университет

Исследуется релаксация напряжений вблизи осесимметричных полостей различной конфигурации. Учитывается нелинейная ползучесть вмещающего массива каменной соли.

Расчетная модель строилась из предположения, что осесимметричная полость глубокого заложения образована в однородном изотропном весомом массиве, невозмущенное напряженное состояние которого определяется гидростатическим, линейно зависящим от глубины сжимающим полем напряжений и не испытывает влияния полости при удалении от последней на четыре ее характерных размера.

На горизонтальной границе внешнего контура области, определенной четырьмя характерными размерами полости, действует равномерно распределенная нагрузка , соответствующая давлению массива на глубине , а на вертикальной – распределенная нагрузка . Нижняя горизонтальная граница не перемещается в вертикальном направлении (рис. 1). Выделенная область массива аппроксимируется сеткой треугольных конечных элементов, представляющих собой сечение меридиональной плоскостью кольцевых треугольных элементов, с помощью которых моделируется массив с полостью.

Уравнения, связывающие напряжения и деформации, были приняты в виде

с параметрами ; =0,3; =0,73;  (объемный вес галита  [1].

Р2=–z Р1=–z1

Рисунок 1 – Схема к расчету осесимметричной полости, заключенной в массиве каменной соли

Промежуток времени [0, t] делится на некоторое число интервалов  таким образом, чтобы с заданной степенью точности приращение деформации ползучести в каждом из них определялось напряжениями, достигнутыми к моменту времени  (k=1,2,…,L), т.е. в каждом промежутке  можно положить

Согласно (1) приращения деформации ползучести за k-й интервал

.

Вышеприведенные выражения принимаются за начальные деформации  и решается система линейных алгебраических уравнений относительно приращений узловых перемещений , где К – матрица жесткости системы конечных элементов, а  – вектор начальной узловой нагрузки.

По найденным из  вычисляется полное приращение деформаций  в е-м конечном элементе, а затем и приращение упругой составляющей . В соответствии с законом Гука в каждом элементе определяется приращение напряжений , вызванное приращением деформаций ползучести  за время . Сумма  и  дает новое поле напряжений, по которому вычисляется приращение вязких деформаций в очередном временном интервале . Шаговая процедура по времени заканчивается, как только поле напряжений стабилизируется.

Изложенный алгоритм реализован в комплексе программ, с помощью которых рассчитывалось напряженное и деформированное состояние мгновенно образованных равнообъемных, свободных от нагрузки осесимметричных полостей различных форм: шаровой, эллипсоидальной, цилиндрической с шаровыми торцами и цилиндрической с шаровой потолочиной и плоским основанием.

Центры рассматриваемых хранилищ располагались на глубине Н=1000 м, а отношение характерных размеров в/а для эллипсоидальных конфигураций составляло 0,4, для цилиндрических - 0,2 и 0,4 соответственно. Конечно-элементная аппроксимация состояла из 240 кольцевых конечных элементов треугольного поперечного сечения и 147 узловых окружностей.

Рассмотрим полученные результаты. На рисунках 2-5 приведены расчетные эпюры напряжений вблизи поверхности (0,8-1,5 м от нее), емкостей в зависимости от времени t и угла  (рис. 1).

Из рисунков 2-5 следует, что геометрия полостей-газохранилищ в наибольшей степени влияет на упругое распределение напряжений, которое можно рассматривать как начальное для момента времени t=0. Все эпюры напряжений, соответствующие этому моменту, существенно отличаются друг от друга, особенно в областях интенсивного изменения напряжений. При t>0 разворачивается процесс нелинейной ползучести в окрестности полости, вызывающей релаксацию напряжений. Последняя интенсивна в первые часы после образования полости. Значительные изменения поля напряжений приурочены к местам их максимальной концентрации (), сглаживаемой за счет релаксации.

Так, к 30 ч компонента  в точках пересечения оси 0z с эллипсоидальной и комбинированной цилиндрической полостями уменьшается в 2 раза, с шаровой – в 1,7 раза. На участках менее интенсивной концентрации напряжений релаксация выражена слабее.

Аналогичная картина наблюдается и для компонент , , , так как процессы ползучести и релаксации органично взаимосвязаны.

Ползучесть, описываемая соотношениями (1), и вызываемая ею релаксация напряжений носят затухающий характер. В первые 30 ч после образования полости деформации наиболее интенсивны, и в этом временном интервале происходят значительные изменения поля напряжений вблизи полостей.

По истечении 30 ч ползучесть среды ослабевает, вызывая незначительное перераспределение напряжений. Достаточно отметить, что в промежутке времени от 30 ч до года значение напряжений  в вершинах эллипсоидальной полости уменьшилось приблизительно в 1,2 раза, тогда как в течение первых 30 ч - в 2 раза. Подобным образом ведут себя и остальные компоненты тензора напряжений. После годичного промежутка времени ползучесть массива практически прекращается и напряженное состояние стабилизируется.

Далее обратимся к анализу распределения перемещений, вызванных деформированием массива каменной соли. На рисунках 6-8 приведены расчетные эпюры дополнительных перемещений точек поверхности полости, фиксируемых углом  (рис. 1), которые соответствуют начальному (t=0) и конечному (t=1 год) моментам времени.

Перемещения, вызванные ползучестью среды, значительно превосходят соответствующие им упругие перемещения. Так, например, по истечении года максимальные перемещения () превышают упругие (t=0) приблизительно в 5 раз в случае шаровой конфигурации; в 4-7 раз – цилиндрической с шаровыми торцами (в/а = 0,2 и в/а = 0,4) и эллипсоидальной (в/а = 0,4); в 4-6 раз – цилиндрической с шаровой потолочиной и плоским основанием конфигураций полостей.

Аналогично распределению напряжений наибольшие градиенты перемещений наблюдаются в области потолочины и оснований хранилищ, причем более интенсивно меняется вертикальная составляющая вектора перемещений V.

Максимальные смещения приурочены к вершинам () и экваториальной окружности (). Сравнение максимальных вертикальных ) и горизонтальных u () начальных (t=0) перемещений показало, что первые значительно меньше вторых для всех полостей, исключая шаровую и цилиндрическую с шаровой потолочиной и плоским основанием. В процессе ползучести это различие стирается: максимальные значения компонент U, V приблизительно становятся равными. Таким образом, ползучесть массива каменной соли сглаживает влияние особенностей геометрии хранилища на перемещение точек его поверхности, что вполне согласуется с характером изменения эпюр напряжений в процессе релаксации. Сопоставление упругих деформаций с вязкими и максимальных значений перемещений точек поверхности полости с ее исходными размерами показало, что для данного типа вязкоупругой среды характерны малые деформации, практически не изменяющие начальные размеры, а следовательно, и объемы хранилищ.

Рисунок 6 – Компоненты перемещений точек поверхности полости: а) - шаровой; б) – эллипсоидальной (в/а = 0,4)

Таким образом, в квазистатических задачах нелинейная вязкоупругость существенным образом влияет на процесс деформирования среды в окрестности осесимметричной полости, вызывая заметное перераспределение концентрации напряжений и увеличение перемещений точек сред в сравнении с упругими перемещениями.

Список литературы

1. Ержанов, Ж. С. Ползучесть соляных пород / Ж. С. Ержанов, Э. И. Бергман. – Алма-Ата : Наука, 1977.