Версия для печати

Файл в формате pdf

УДК 622.011.43

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО МАССИВА, СОДЕРЖАЩЕГО ОСЕСИММЕТРИЧНУЮ ПОЛОСТЬ

Аршинов Г. А. – к. ф.-м. н.

Кубанский государственный аграрный университет

Рассматривается конечно-элементная модель расчета напряженно-деформированного состояния упругого полупространства, содержащего осесимметричную полость.

Модель строится из следующих соображений. Допустим, что в упругом однородном изотропном полупространстве образована осесимметричная (с вертикальной осью симметрии) полость с центром на глубине Н и максимальным характерным размером а. Предполагая, что а/Н<<1, и учитывая малость влияния полости на напряженное состояние окружающего ее массива вне шара (центры полости и шара совпадают) радиуса 4а, заменим весомое полупространство, содержащее емкость, невесомым круглым цилиндром с полостью, по верхнему торцу и боковой поверхности которого равномерно распределены сжимающие усилия  ( – объемный вес массива) и , а нижний торец опирается на жесткое основание. Выделенную область массива с полостью аппроксимируем совокупностью кольцевых конечных элементов треугольного поперечного сечения и в силу осесимметричности рассмотрим лишь половину меридионального сечения полученной аппроксимации (рис. 1в). При наличии у полости экваториальной плоскости симметрии достаточно рассмотреть четверть указанного сечения (рис. 1а).

Предположим, что конечно-элементная идеализация содержит Е треугольников и G узлов, будем нумеровать узлы (вершины) треугольников 1, 2, 3 против часовой стрелки.

Рисунок 1 – Конечно-элементная аппроксимация выделенной области с полостью

Для удобства дальнейшего изложения воспользуемся матричной символикой [1]. Функцию перемещений  аппроксимируем следующим образом:

где u, – вектора-столбцы, компоненты которых суть проекции вектора смещений и его аппроксимации на оси координат , Oz;  – вектор узловых смещений е-го треугольника.

Коэффициенты  определяются через координаты узлов элемента:

.

(2)

Циклической перестановкой индексов в порядке 1, 2, 3 в (2) получаются остальные коэффициенты. Используя (1) и формулы Коши, представим вектор деформаций элемента в виде

где , i=1, 2, 3,

а  – вектор узловых перемещений е-го элемента.

По закону Гука

где , а – параметры Ламе.

Решение смешанной краевой задачи в случае ее осесимметричности минимизирует функционал энергии:

где f, p – вектора массовых и поверхностных сил, V – область, в которой ищется решение, S – граница V. Принимая во внимание (3) и (4), получим аппроксимацию функционала (5):

где матрица  называется матрицей жесткости е-го конечного элемента, а матрица

.

Введем матрицы  размером , компоненты которых либо нуль, либо единичные. Для любого m-го узла е-го элемента, совпадающего с i-м узлом в глобальной нумерации узлов конечно-элементной сетки, компоненты  и  равны 1. После перебора всех элементов и присвоения компонентам  единицы согласно указанному правилу, оставшиеся компоненты приравниваются к нулю. Если

– вектор смещений узлов согласно глобальной нумерации, то

Учитывая (7), запишем (6) в виде

или

Функционал (8) принимает минимальное значение, если ; I =1,2,…,.

Эти условия сводятся к системе линейных алгебраических уравнений относительно вектора глобальных узловых перемещений

матрица коэффициентов которой К называется матрицей жесткости системы конечных элементов. Решение  позволяет установить деформации и напряжения по формулам (3), (4).

Иногда в элементах полезно задавать начальные деформации или напряжения, тогда видоизменяется связь (4), которая в этих случаях соответственно имеет вид:

где  и  – начальные деформации и напряжения, а к правой части (9) добавится слагаемое Q, соответственно равное

или

После решения системы  напряжение вычисляются согласно (10).

Список литературы

 1. Зенкевич, О. С. Метод конечных элементов в технике / О. С. Зенкевич. – М. : Мир, 1975.