Версия для печати

Файл в формате pdf

УДК 368.382

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ СОСТОЯНИЙ СОЗНАНИЯ ЧЕЛОВЕКА В ЭВОЛЮЦИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Луценко Е. В. – д. э. н., к. т. н., профессор

Кубанский государственный аграрный университет

В статье предлагается математическая модель и результаты численного моделирования процессов познания и развития сознания с помощью аппарата простых однородных стационарных цепей Маркова. Обосновываются выводы о том, что путь развития сознания в процессе развития общества является наиболее массовым; для каждого этапа развития общества существует определенное наиболее массовое состояние сознания, а также менее массовые, более и менее высокие, чем наиболее массовое; кроме наиболее массового существуют и другие пути развития сознания, из-за чего с течением времени общество становится все менее однородным по уровню сознания своих членов.

В 1979 году автором предложена периодическая классификация этапов познания при различных типах сознания, представленная в форме диаграммы состояний и переходов сознания человека в эволюции [1]:

Наличие классификации форм сознания открывает возможность использования для исследования процессов развития сознания математических методов, в частности, теории Марковских случайных процессов (что и было осуществлено автором в 1980 году). Естественно, для этого необходимо сделать некоторые допущения.

Постановка задачи

Случайный процесс называется Марковским, если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от ее состояния в настоящее время и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом). Диаграмма состояний и переходов сознания человека в эволюции содержит 28 дискретных состояний сознания, разрешенных в эволюции, переходы между которыми могут происходить, вообще говоря, как в определенные дискретные моменты времени, так и непрерывно. В первом случае процесс развития сознания описывается моделью Марковской цепи, а во втором – моделью дискретного Марковского процесса. В данной работе мы ограничимся моделью Марковской цепи, а точнее моделью простой однородной стационарной цепи Маркова [2].

Для удобства детального анализа перенумеруем состояния сознания в диаграмме состояний и переходов сознания человека в эволюции согласно таблице.

Таблица – Перенумерация состояний сознания

Будем рассматривать сознание как систему С, имеющую 28 возможных состояний: С, С, С,…, С и шаг за шагом, в определенные дискретные моменты времени Т<Т<Т,…, Т совершающую скачкообразные переходы С С из состояний с меньшим номером в состояния с большим номером. Будем считать также, что на каждом шаге все переходы С С осуществляются с их вероятностями Р, и эти вероятности одношаговых переходов от шага к шагу не меняются, т.е. постоянны и однозначно задаются (стохастической квадратной) матрицей М вероятностей одношаговых переходов:

Все элементы этой матрицы неотрицательны, а сумма элементов в каждой строке близка к единице.

Нас, прежде всего, будет интересовать решение следующей основной задачи.

Пусть известно начальное состояние С сознания С и заданы вероятности Р одношаговых переходов С С из состояния С в состояние С. Определить вероятности Р переходов С С за Т шагов, т.е. найти матрицы М

вероятностей Р. Известно [2], что для простой однородной цепи Маркова матрица М вероятностей Р перехода сознания С из состояния С в состояние С за Т шагов равна Т-й степени матрицы М вероятностей Р одношаговых переходов С С:

Марковская математическая модель

Таким образом, для решения основной задачи необходимо найти вид матрицы М, т.е. определить вероятности Р одношаговых переходов между состояниями сознания, представленными в диаграмме состояний и переходов сознания человека в эволюции. Чтобы это сделать, рассмотрим универсальный закон переходов: "Шаг назад – два шага вперед". Предварительно дадим необходимые определения.

Редуцированным состоянием сознания С называется такое состояние, в котором сознание имеет определенный уровень развития, т.е. находится в определенном состоянии С, где К=константа, но имеет неопределенное направление и темп развития, т.е. с вероятностями Р для него возможны все одношаговые переходы С С, где 1К<Л28.

В диаграмме состояний и переходов сознания человека в эволюции представлены только редуцированные состояния сознания.

Виртуальным состоянием сознания С называется такое состояние, в котором сознание имеет определенное направление и темп развития, т.е. совершает некоторый вполне определенный одношаговый переход С С (где К=константа и Л=константа), но имеет неопределенный уровень развития, т.е. находится в неопределенном состоянии "С" на пути от С к С. Однако было бы неоправданным упрощением представление о том, что Н "очень быстро" пробегает все промежуточные значения от К до Л и в буквальном смысле находится где-то между ними, т.е. что К<Н<Л. В действительности переход С С совершается по диалектическим законам, и, в частности, по закону отрицания-отрицания, следовательно, в этом переходе отражаются некоторые (но не все) черты редуцированного состояния С, которое настолько же отстоит от состояния С назад, насколько состояние С отстоит от него вперед. В этом и состоит смысл универсального закона переходов сознания в эволюции. Сформулируем этот закон более подробно.

Пусть совершается одношаговый переход С С (без промежуточных редуцированных состояний) сознания С из редуцированного состояния С в редуцированное состояние С. Величина шага Ш равна:

Виртуальное состояние "С" представляет собой непосредственно сам переход между редуцированными состояниями С и С. Сознание С сначала переходит из редуцированного состояния С в виртуальное состояние "С", подобное по закону отрицания-отрицания редуцированному состоянию С, отстоящему от редуцированного состояния С на один шаг назад:

а затем из виртуального состояния "С" переходит в реальное состояние С, совершая при этом два шага вперед:

Таким образом, универсальный закон переходов "шаг назад – два шага вперед" рассматривает диалектику одношаговых переходов и может быть наглядно представлен в виде простейшего графа:

Заметим, что в процессе развития сознания редуцированные и виртуальные состояния сознания чередуются подобно тому, как они чередуются в процессе движения элементарной частицы [1]. Диаграмма состояний и переходов сознания человека в эволюции по существу отображает дискретное фазовое пространство состояний и развития сознания. Некоторые из переходов сознания человека в эволюции, построенные на основе универсального закона переходов "Шаг назад – два шага вперед", символически отображены на диаграмме состояний и переходов сознания человека в эволюции в виде графов, построенных, соответственно, на основе графа (7).

Переход С С называется одношаговым, если он совершается без промежуточных редуцированных состояний. Путь развития сознания есть такая последовательность одношаговых переходов, в которой редуцированное состояние – конец каждого предыдущего перехода – представляет собой в то же время начало последующего перехода. Существует большое количество различных путей, ведущих от одного редуцированного состояния сознания к другому.

Получим выражение для числа путей П перехода С С, где 1К<Л28. Для этого необходимо найти связь между П и П, а также между П и П.

От С к С ведут как все те же пути, что и от С к С, но завершающиеся переходом С С, так и все те же пути, что и от С к С, но завершающиеся переходом С С, где 1КР<Л–127, т.е.:

С другой стороны, от С к С ведут как все те же пути, что и от С к С, но начинающиеся переходом С С, так и те же пути, что и от С к С, но начинающиеся переходом СС, где 2К+1<РЛ28, т.е.:

Положим, в выражении (8) Л=К+2, тогда получим:

Переход С С является одношаговым, и, следовательно, существует единственный путь этого перехода:

Далее последовательным применением рекуррентного соотношения (8) получим:

Откуда В=Л–К и

при 1К<Л28.

Так как возможны только те переходы С С, для которых 1К<Л<28, то

при КЛ. Объединяя выражения (13) и (14) получим:

Пользуясь выражением (15), определим вероятности Р одношаговых переходов С С сознания С из состояния С в состояние С. Будем считать, что если сознание С исходит из состояния С и стремится как к цели к состоянию С, то вероятность Р одношагового перехода С С в некоторое состояние С равно отношению П/П числа путей П перехода С С к числу путей П перехода С С:

Это определение вероятности Р связано с мерой целесообразности информации, которая определяется А. А. Харкевичем как изменение вероятности достижения цели при получении дополнительной информации [4].

В определении (16) вероятности Р одношагового перехода С С число путей П перехода С С, очевидно, не должно быть равным нулю:

Но так как согласно выражению (15) это возможно только при К<М, а 1К27, то очевидно, что условие (17) осуществляется для всех К только при М=28. Используя в (16) выражение (15) получим:

-        при 1К<ЛМ=28

-        при КЛ

Итак,

Выражение (20) полностью определяет все элементы матрицы М:

вероятностей одношаговых переходов. Примечательно, что вероятность Р зависит только от разности аргументов (Л–К), что полностью соответствует определению однородной Марковской цепи [2].

Определим вероятности Р и количества путей П перехода С С сознания С из состояния С в состояние С за Т шагов. Последовательно полагая в выражении (3) Т=2,3,4,…,27 и применяя правила перемножения матриц, получаем для определения вероятностей Р рекуррентную формулу:

где Т=2,3,4,…,27.

Представим Р в виде:

где коэффициенты П определяются следующим образом:

Выражение (23) полностью определяет матрицу П коэффициентов П:

Положим в выражении (21) Т=2 и подставим в него Р из (22), тогда получим:

где

и, следовательно,

Далее, полагая в выражении (21) Т=3 и подставляя в него Р из (22) и Р из (25), получим:

где

и

Если в (30) использовать (27), то получим:

Итак, из сравнения выражений (22), (25) и (28) мы видим, что вероятности Р перехода С С сознания С из состояния С в состояние С за Т шагов могут быть представлены в виде:

где коэффициенты П определяются из рекуррентного соотношения:

и представляют собой элементы матриц П:

При получении выражений (33) и (34) использованы формулы (26), (29) и (27), (31) соответственно.

Рассмотрим выражение (33). Его можно представить в виде:

Но согласно (23) все П в первой сумме выражения (35) равны единице, а во второй нулю, поэтому выражение (35) принимает вид:

Замечаем [3], что выражению (36) удовлетворяют элементы треугольника Паскаля, определяемые по формуле:

где: 1К<Л28; 1ТЛ–К.

Используя выражение (37) для П в (32), окончательно для Р получим:

Заменяя в (37) и (38) факториалы гамма-функциями, получаем обобщения этих выражений для непрерывного случая, более удобные для численных расчетов и построения графиков:

где М=Л–К.

Выражение (38) определяет вероятность Р перехода С С сознания С из состояния С в состояние С за Т шагов и представляет собой основной итог данной работы. По сути, выражение (38^*) определяет плотность вероятности нахождения сознания в различных состояниях в зависимости от времени, а значит, может быть названо "Динамическим распределением форм сознания в эволюции".

В полном соответствии с определением однородной цепи Маркова [2] вероятности Р, определяемые выражением (38), зависят только от разности (Л–К) аргументов "Л" и "К" начального и конечного состояний перехода С С и не зависят от пути этого перехода. Из этого, а также из соотношения

справедливость которого легко установить непосредственно используя выражения (37) и (15), следует, что П представляет собой количество путей перехода С С за Т шагов (41,16), а 2 есть вероятность любого из путей этого перехода в отдельности. Следовательно, преимущества одного пути эволюции перед другим (в смысле его большей вероятности) в рамках модели простой (одномерной) цепи Маркова установить невозможно. Для решения этой важнейшей задачи необходимо использование более общей модели сложных цепей Маркова [2], в которых вероятность перехода С С зависит от пути, по которому система пришла в состояние С, а точнее, зависит от М состояний системы, непосредственно предшествующих состоянию С, где М>1.

Однако уже модель простой однородной цепи Маркова позволяет изучить динамику населенности различных состояний сознания в процессе эволюции. Для этого необходимо (используя выражение (38)) произвести вычисление вероятностей Р для всех 1ТЛ–К27.

Заметим также, что числа П называются треугольными, т.к. они указывают количества шаров, которые можно уложить в виде треугольника, а числа П – тетраэдрическими, т.к. эти числа показывают, сколько шаров могут быть уложены в виде треугольной пирамиды-тетраэдра [3]. Эти названия дали им еще в 5 в. до н. э. пифагорейцы, которые изучали числа П, придавая им мистический смысл, возможно, связанный по закону отрицания-отрицания с тем научным смыслом, который придаем этим числам мы.

Результаты численного моделирования

В 1983 году у автора впервые появилась возможность численно просчитать кривые плотности вероятности состояний сознания в эволюции в зависимости от времени в соответствии с выражением (38^*) на компьютере Wang-2200C. Полученные кривые, выведенные на графопостроителе, приведены ниже.

В 1994 году эти же кривые были просчитаны автором на ИБМ – совместимом персональном компьютере (графики и исходный текст программы на языке xBase приведены ниже).

Исходный тест программы для численного моделирования на языке xBase:

Ограничения предложенной модели и перспективы ее развития

Предложенная математическая модель является упрощенной и не отражает, например, следующее:

- динамику промежуточных состояний, т.е. явлений накопления людей на рубежах перехода к следующим типам сознания и диффузии через эти барьеры (А. А. Босенко, 1984);

- возможных зависимостей вероятностей переходов в различные формы сознания от пути, по которому человек оказался в данном состоянии, а не только от самого состояния (составные цепи Маркова);

- сама матрица вероятностей переходов также скорее всего является функцией времени, причем функцией, зависящей от места на планете или в космосе;

- матрица вероятностей переходов может быть детализирована за счет увеличения ее размерности и количества классифицированных редуцированных состояний сознания, и т.д., и т.д.

Решение этих и других вопросов представляет перспективу дальнейших исследований.

Выводы:

1. Путь развития сознания в процессе развития общества является наиболее массовым.

2. Для каждого этапа развития общества существует определенное наиболее массовое состояние сознания.

3. Существование других путей развития сознания приводит к "размыванию" основного максимума с течением времени, т.е. к тому, что общество становится все более неоднородным по уровню сознания своих членов.

Список литературы

1. Луценко, Е. В. Опыт исследования высших форм сознания / Е. В. Луценко // Высшие формы сознания – высшие технологии [Электронный ресурс]. – Краснодар, 2005. – Режим доступа: http://lc.kubagro.ru/master/index.htm.

2. Тихонов, В. И. Марковские процессы / В. И.Тихонов, М. А. Миронов. – М., 1977.

3. Успенский, В. А. Треугольник Паскаля / В. А. Успенский. – М., 1979.

4. Темников, Ф. Е. Теоретические основы информационной техники / Ф. Е. Темников, В. А. Афонин, В. И. Дмитриев. – М. : "Энергия", 1979. – С. 56–57.