Версия для печати

Файл в формате pdf

Нелинейная динамика физически линейной и нелинейной вязкоупругой пластины

Аршинов Г.А.

Кубанский государственный аграрный университет

Метод возмущений применяется для исследования дисперсионных волн в геометрически нелинейной пластине из линейно- и нелинейно-вязкоупругого материала. Выведены эволюционное уравнения Кадомцева – Петвиашвили – Бюргерса для физически линейной и модифицированное уравнение для физически нелинейной пластины.

Рассматривается бесконечная пластина толщиной 2h, свободная от внешних воздействий. Компоненты вектора перемещений точек пластины при симметричных по толщине колебаниях и невысоких частотах зададим соотношениями [1]:

  v; , (1)

в которых  и v - функции, определяющие поле перемещений в срединной плоскости по осям  и   соответственно;  - перемещения по оси ;  - время.

Используя кинематические соотношения (1) и формулы Лагранжа для конечных деформаций

 (2)

вычислим компоненты тензора деформаций.

Реологические свойства пластины зададим уравнениями линейной теории вязкоупругости, содержащими экспоненциальное ядро вида[2].

, (3)

где  - соответственно компоненты тензоров напряжений и деформаций;  - объемное расширение;  - символы Кронекера;  - реологические параметры;

 - упругие постоянные Ламе.

Уравнения движения пластины получим, применяя вариационный принцип

, (4)

где  - плотность материала пластины;  - вариации деформаций;  - вариации перемещений; точкой обозначена производная по времени.

В результате вычисления компонент деформаций (2) на основе функций (1), вариаций  затем компонент тензора напряжений  из закона состояния (3) и подстановки найденных величин в уравнение (4), из последнего в силу произвольности вариаций   после интегрирования по переменной z получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины:

 =

.

v = v_xv_y)] + v_y)

 _.

 =  (5)

 + +

,

где введены следующие обозначения:

 (6)

, (7)

 - поправочный коэффициент, а К – модуль объемного расширения.

Буквенные индексы в системе (5), как и ранее, определяют производную по соответствующей переменной.

Заменим интегральные операторы в формулах (6) и (7) дифференциальными, разлагая функции ,  в ряды Тейлора по степеням (), сохраняя в полученных разложениях два слагаемых, что допустимо для .

В результате получим аппроксимации:

, , (8)

где введены операторы

, ,

действующие на функцию  по правилу

, .

 Обозначим через А амплитуду колебаний, а через l - длину волны и рассмотрим длинные волны малой амплитуды, вводя таким образом малый параметр . Заменим в системе (5)  и  их приближениями (8) и исследуем полученные уравнения асимптотическим методом. Для этого перейдем в полученных уравнениях к безразмерным переменным

 , v = v^*,  

, , .  (9) 

Представим неизвестные функции асимптотическими разложениями, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:

 v = (v₁ + v₂ +…) (10)

Допустим, что величины , ,  - одного порядка малости и подставим разложения (10) в безразмерные уравнения пластины. Учитывая введенные отношения порядков, для первых членов разложения получим систему уравнений:

 , (11)

  = 0. (12)

Из уравнения (12) следует, что

 (13)

где , .

Из уравнения (4.11) в силу формулы (4.13) определим скорость волны

  (14)

Для вторых членов разложений (10 )получим систему трех уравнений

v +  

 
, (15)

v = v+ , (16)

 v) +  

 (17)

После интегрирования уравнения (16) по переменной  и применения формулы (13), приходим к равенству v= .В силу последнего равенства и формулы (13) уравнение (17) после его дифференцирования по  приведем к виду:

+ (18)

Учитывая формулу (14), легко установить, что последние три слагаемых в уравнении (15) равны левой части уравнения (18), умноженной на величину .

Приравнивая соответствующие слагаемые, получаем

 v++ (19) 

Выполняя тождественные преобразования в уравнении (19) и вводя обозначение , приходим к уравнению Кадомцева – Петвиашвили – Бюргерса

, (20)

где введены обозначения

 ,

 .

 Перейдем к рассмотрению физически нелинейной вязкоупругой пластины. Как и в линейном случае, рассмотрим неограниченную пластину толщиной , свободную от внешних воздействий, а перемещения точек пластины аппроксимируем функциями

    v;   (21)

Используя (21) и тензор деформаций Лагранжа

 , (22)

вычислим компоненты тензора конечных деформаций.

Реологические свойства пластины зададим уравнениями квадратичной  теории вязкоупругости, содержащими экспоненциальное ядро [2].

,(23)

где  - соответственно компоненты тензоров напряжений и деформаций,  - объемное расширение,  - компоненты девиатора деформаций,   - символы Кронекера,   - реологические параметры,   - упругие постоянные Ламе,   - квадрат интенсивности деформаций.

 В результате вычисления компонент деформаций (22) на основе функций (21), вариаций  затем компонент тензора напряжений  из закона состояния (23) и подстановки найденных величин в уравнение (4), из последнего в силу произвольности вариаций   после интегрирования по переменной z получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины:

 =

v = v_xv_y)] + v_y)

 =  (24)

+ +

,

где введены следующие обозначения:

 (25)

, (26)

а  - поправочный коэффициент.

 Упростим дальнейшее исследование системы (24), заменяя интегральные операторы в формулах (25) и (26) дифференциальными путем разложения функций , , в ряды Тейлора по степеням (), сохраняя в полученных разложениях два слагаемых, что возможно для .

В результате получим приближения

, , (27)

где введены операторы

 , ,

действующие на функцию  по правилу

 ,

 .

 Для исследования уравнений движения (24) применим асимптотический метод. Обозначим через  амплитуду колебаний, а через  - длину волны и рассмотрим длинные волны малой амплитуды, вводя таким образом малый параметр . Заменим в системе (24)  и  их приближениями (27) и перейдем в полученных уравнениях к безразмерным переменным

 , v = v^*,  

, , .  (28) 

Представим искомые функции в виде следующих асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:

 v = (v₁ + v₂ +…) (29)

Допустим, что величины , ,  - одного порядка малости, а реологическая постоянная  - порядка  .

 Подставляя разложение (29) в безразмерные уравнения пластины и учитывая введенные отношения порядков, для первых членов разложения получаем

 , (30)

  = 0, (31)

Из уравнения (31) следует, что

 (32)

где , .

Из уравнения (30) в силу равенства (32) определяем скорость

  (33)

 Для следующих членов разложений (29) получим систему трех уравнений

v +  

 
 (34) 

v = v+  (35)

 v) +  

 (36)

После интегрирования уравнения (35) по переменной  и применения формулы (32), приходим к равенству v= .В силу этого равенства и формулы (32) уравнение (36) после его дифференцирования по   приведем к виду

+ (37)

Учитывая формулу (33), легко видеть, что последние три слагаемых в уравнении (35) равны левой части уравнения (37), умноженной на величину  .

 Приравнивая соответствующие слагаемые, получаем

 v++ (38)

Выполняя преобразования в уравнении (38) и вводя обозначение , приходим к модифицированному уравнению Кадомцева – Петвиашвили – Бюргерса

, (39)

где введены обозначения

 ,

 ,

 .

Список литературы

 1. Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ, 2002. 152 с.

 2. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М., 1972.