Квазистатический анализ напряженного и деформированного состояния вязкоупругого полупространства с осесимметричной полостью

Научный электронный журнал КубГАУ . № 08(16), 2005

КВАЗИСТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВЯЗКОУПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ПОЛОСТЬЮ

Кубанский государственный аграрный университет

Исследуется релаксация напряжений вблизи осесимметричных полостей различной конфигурации. Учитывается нелинейная ползучесть вмещающего массива каменной соли.

Расчетная модель строилась из предположения, что осесимметричная полость глубокого заложения образована в однородном изотропном весомом массиве, невозмущенное напряженное состояние которого определяется гидростатическим, линейно зависящим от глубины сжимающим полем напряжений и не испытывает влияния полости при удалении от последней на четыре ее характерных размера.

На горизонтальной границе внешнего контура области, определенной четырьмя характерными размерами полости, действует равномерно распределенная нагрузка , соответствующая давлению массива на глубине , а на вертикальной – распределенная нагрузка . Нижняя горизонтальная граница не перемещается в вертикальном направлении (рис. 1). Выделенная область массива аппроксимируется сеткой треугольных конечных элементов, представляющих собой сечение меридиональной плоскостью кольцевых треугольных элементов, с помощью которых моделируется массив с полостью.

Уравнения, связывающие напряжения и деформации, были приняты в виде

с параметрами ; =0,3; =0,73; (объемный вес галита [1].

Промежуток времени [0, t] делится на некоторое число интервалов таким образом, чтобы с заданной степенью точности приращение деформации ползучести в каждом из них определялось напряжениями, достигнутыми к моменту времени (k=1,2,…,L), т.е. в каждом промежутке можно положить

Согласно (1) приращения деформации ползучести за k-й интервал

Вышеприведенные выражения принимаются за начальные деформации и решается система линейных алгебраических уравнений относительно приращений узловых перемещений , где К – матрица жесткости системы конечных элементов, а – вектор начальной узловой нагрузки.

По найденным из вычисляется полное приращение деформаций в е-м конечном элементе, а затем и приращение упругой составляющей . В соответствии с законом Гука в каждом элементе определяется приращение напряжений , вызванное приращением деформаций ползучести за время . Сумма и дает новое поле напряжений, по которому вычисляется приращение вязких деформаций в очередном временном интервале . Шаговая процедура по времени заканчивается, как только поле напряжений стабилизируется.

Изложенный алгоритм реализован в комплексе программ, с помощью которых рассчитывалось напряженное и деформированное состояние мгновенно образованных равнообъемных, свободных от нагрузки осесимметричных полостей различных форм: шаровой, эллипсоидальной, цилиндрической с шаровыми торцами и цилиндрической с шаровой потолочиной и плоским основанием.

Центры рассматриваемых хранилищ располагались на глубине Н=1000 м, а отношение характерных размеров в/а для эллипсоидальных конфигураций составляло 0,4, для цилиндрических - 0,2 и 0,4 соответственно. Конечно-элементная аппроксимация состояла из 240 кольцевых конечных элементов треугольного поперечного сечения и 147 узловых окружностей.

Рассмотрим полученные результаты. На рисунках 2-5 приведены расчетные эпюры напряжений вблизи поверхности (0,8-1,5 м от нее), емкостей в зависимости от времени t и угла (рис. 1).

Из рисунков 2-5 следует, что геометрия полостей-газохранилищ в наибольшей степени влияет на упругое распределение напряжений, которое можно рассматривать как начальное для момента времени t=0. Все эпюры напряжений, соответствующие этому моменту, существенно отличаются друг от друга, особенно в областях интенсивного изменения напряжений. При t>0 разворачивается процесс нелинейной ползучести в окрестности полости, вызывающей релаксацию напряжений. Последняя интенсивна в первые часы после образования полости. Значительные изменения поля напряжений приурочены к местам их максимальной концентрации (), сглаживаемой за счет релаксации.

Так, к 30 ч компонента в точках пересечения оси 0z с эллипсоидальной и комбинированной цилиндрической полостями уменьшается в 2 раза, с шаровой – в 1,7 раза. На участках менее интенсивной концентрации напряжений релаксация выражена слабее.

Аналогичная картина наблюдается и для компонент , , , так как процессы ползучести и релаксации органично взаимосвязаны.

Ползучесть, описываемая соотношениями (1), и вызываемая ею релаксация напряжений носят затухающий характер. В первые 30 ч после образования полости деформации наиболее интенсивны, и в этом временном интервале происходят значительные изменения поля напряжений вблизи полостей.

По истечении 30 ч ползучесть среды ослабевает, вызывая незначительное перераспределение напряжений. Достаточно отметить, что в промежутке времени от 30 ч до года значение напряжений в вершинах эллипсоидальной полости уменьшилось приблизительно в 1,2 раза, тогда как в течение первых 30 ч - в 2 раза. Подобным образом ведут себя и остальные компоненты тензора напряжений. После годичного промежутка времени ползучесть массива практически прекращается и напряженное состояние стабилизируется.

Далее обратимся к анализу распределения перемещений, вызванных деформированием массива каменной соли. На рисунках 6-8 приведены расчетные эпюры дополнительных перемещений точек поверхности полости, фиксируемых углом (рис. 1), которые соответствуют начальному (t=0) и конечному (t=1 год) моментам времени.

Перемещения, вызванные ползучестью среды, значительно превосходят соответствующие им упругие перемещения. Так, например, по истечении года максимальные перемещения () превышают упругие (t=0) приблизительно в 5 раз в случае шаровой конфигурации; в 4-7 раз – цилиндрической с шаровыми торцами (в/а = 0,2 и в/а = 0,4) и эллипсоидальной (в/а = 0,4); в 4-6 раз – цилиндрической с шаровой потолочиной и плоским основанием конфигураций полостей.

Аналогично распределению напряжений наибольшие градиенты перемещений наблюдаются в области потолочины и оснований хранилищ, причем более интенсивно меняется вертикальная составляющая вектора перемещений V.

Максимальные смещения приурочены к вершинам () и экваториальной окружности (). Сравнение максимальных вертикальных ) и горизонтальных u () начальных (t=0) перемещений показало, что первые значительно меньше вторых для всех полостей, исключая шаровую и цилиндрическую с шаровой потолочиной и плоским основанием. В процессе ползучести это различие стирается: максимальные значения компонент U, V приблизительно становятся равными. Таким образом, ползучесть массива каменной соли сглаживает влияние особенностей геометрии хранилища на перемещение точек его поверхности, что вполне согласуется с характером изменения эпюр напряжений в процессе релаксации. Сопоставление упругих деформаций с вязкими и максимальных значений перемещений точек поверхности полости с ее исходными размерами показало, что для данного типа вязкоупругой среды характерны малые деформации, практически не изменяющие начальные размеры, а следовательно, и объемы хранилищ.

Рисунок 7 – Компоненты перемещений точек поверхности полости:

а) - цилиндрической с шаровыми торцами (в/а = 0,4);

б) - цилиндрической с шаровой потолочиной и плоским основанием (в/а = 0,4)

Таким образом, в квазистатических задачах нелинейная вязкоупругость существенным образом влияет на процесс деформирования среды в окрестности осесимметричной полости, вызывая заметное перераспределение концентрации напряжений и увеличение перемещений точек сред в сравнении с упругими перемещениями.

1. Ержанов, Ж. С. Ползучесть соляных пород / Ж. С. Ержанов, Э. И. Бергман. – Алма-Ата : Наука, 1977.