Научный электронный журнал КубГАУ . № 08(16), 2005 УДК 622.011.43 КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО МАССИВА, СОДЕРЖАЩЕГО ОСЕСИММЕТРИЧНУЮ ПОЛОСТЬ Аршинов Г. А. – к. ф.-м. н. Кубанский государственный аграрный университет Рассматривается конечно-элементная модель расчета напряженно-деформированного состояния упругого полупространства, содержащего осесимметричную полость. Модель строится из следующих соображений. Допустим, что в упругом однородном изотропном полупространстве образована осесимметричная (с вертикальной осью симметрии) полость с центром на глубине Н и максимальным характерным размером а. Предполагая, что а/Н<<1, и учитывая малость влияния полости на напряженное состояние окружающего ее массива вне шара (центры полости и шара совпадают) радиуса 4а, заменим весомое полупространство, содержащее емкость, невесомым круглым цилиндром с полостью, по верхнему торцу и боковой поверхности которого равномерно распределены сжимающие усилия ( – объемный вес массива) и , а нижний торец опирается на жесткое основание. Выделенную область массива с полостью аппроксимируем совокупностью кольцевых конечных элементов треугольного поперечного сечения и в силу осесимметричности рассмотрим лишь половину меридионального сечения полученной аппроксимации (рис. 1в). При наличии у полости экваториальной плоскости симметрии достаточно рассмотреть четверть указанного сечения (рис. 1а). Предположим, что конечно-элементная идеализация содержит Е треугольников и G узлов, будем нумеровать узлы (вершины) треугольников 1, 2, 3 против часовой стрелки.
Для удобства дальнейшего изложения воспользуемся матричной символикой [1]. Функцию перемещений аппроксимируем следующим образом:
где u, – вектора-столбцы, компоненты которых суть проекции вектора смещений и его аппроксимации на оси координат , Oz; – вектор узловых смещений е-го треугольника. Коэффициенты определяются через координаты узлов элемента:
Циклической перестановкой индексов в порядке 1, 2, 3 в (2) получаются остальные коэффициенты. Используя (1) и формулы Коши, представим вектор деформаций элемента в виде
где , i=1, 2, 3, а – вектор узловых перемещений е-го элемента. По закону Гука
где , а – параметры Ламе. Решение смешанной краевой задачи в случае ее осесимметричности минимизирует функционал энергии:
где f, p – вектора массовых и поверхностных сил, V – область, в которой ищется решение, S – граница V. Принимая во внимание (3) и (4), получим аппроксимацию функционала (5):
где матрица называется матрицей жесткости е-го конечного элемента, а матрица . Введем матрицы размером , компоненты которых либо нуль, либо единичные. Для любого m-го узла е-го элемента, совпадающего с i-м узлом в глобальной нумерации узлов конечно-элементной сетки, компоненты и равны 1. После перебора всех элементов и присвоения компонентам единицы согласно указанному правилу, оставшиеся компоненты приравниваются к нулю. Если
– вектор смещений узлов согласно глобальной нумерации, то
Учитывая (7), запишем (6) в виде
или
Функционал (8) принимает минимальное значение, если ; I =1,2,…,. Эти условия сводятся к системе линейных алгебраических уравнений относительно вектора глобальных узловых перемещений
матрица коэффициентов которой К называется матрицей жесткости системы конечных элементов. Решение позволяет установить деформации и напряжения по формулам (3), (4). Иногда в элементах полезно задавать начальные деформации или напряжения, тогда видоизменяется связь (4), которая в этих случаях соответственно имеет вид:
где и – начальные деформации и напряжения, а к правой части (9) добавится слагаемое Q, соответственно равное
или
После решения системы напряжение вычисляются согласно (10). Список литературы 1. Зенкевич, О. С. Метод конечных элементов в технике / О. С. Зенкевич. – М. : Мир, 1975. |
||||||||||||||||||||||||||||
Научный электронный журнал КубГАУ . № 08(16), 2005 |