Научный электронный журнал КубГАУ . № 07(15), 2005



УДК 368.382



МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ СОСТОЯНИЙ СОЗНАНИЯ ЧЕЛОВЕКА В ЭВОЛЮЦИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Луценко Е. В. – д. э. н., к. т. н., профессор

Кубанский государственный аграрный университет

В статье предлагается математическая модель и результаты численного моделирования процессов познания и развития сознания с помощью аппарата простых однородных стационарных цепей Маркова. Обосновываются выводы о том, что путь развития сознания в процессе развития общества является наиболее массовым; для каждого этапа развития общества существует определенное наиболее массовое состояние сознания, а также менее массовые, более и менее высокие, чем наиболее массовое; кроме наиболее массового существуют и другие пути развития сознания, из-за чего с течением времени общество становится все менее однородным по уровню сознания своих членов.

В 1979 году автором предложена периодическая классификация этапов познания при различных типах сознания, представленная в форме диаграммы состояний и переходов сознания человека в эволюции [1]:

Рисунок 1 – Диаграмма состояний и переходов сознания человека в эволюции

Наличие классификации форм сознания открывает возможность использования для исследования процессов развития сознания математических методов, в частности, теории Марковских случайных процессов (что и было осуществлено автором в 1980 году). Естественно, для этого необходимо сделать некоторые допущения.

Постановка задачи

Случайный процесс называется Марковским, если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от ее состояния в настоящее время и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом). Диаграмма состояний и переходов сознания человека в эволюции содержит 28 дискретных состояний сознания, разрешенных в эволюции, переходы между которыми могут происходить, вообще говоря, как в определенные дискретные моменты времени, так и непрерывно. В первом случае процесс развития сознания описывается моделью Марковской цепи, а во втором – моделью дискретного Марковского процесса. В данной работе мы ограничимся моделью Марковской цепи, а точнее моделью простой однородной стационарной цепи Маркова [2].

Для удобства детального анализа перенумеруем состояния сознания в диаграмме состояний и переходов сознания человека в эволюции согласно таблице.

Таблица – Перенумерация состояний сознания
Таблица

Будем рассматривать сознание как систему С, имеющую 28 возможных состояний: С, С, С,…, С и шаг за шагом, в определенные дискретные моменты времени Т,…, Т совершающую скачкообразные переходы С С из состояний с меньшим номером в состояния с большим номером. Будем считать также, что на каждом шаге все переходы С С осуществляются с их вероятностями Р, и эти вероятности одношаговых переходов от шага к шагу не меняются, т.е. постоянны и однозначно задаются (стохастической квадратной) матрицей М вероятностей одношаговых переходов:

.

(1)

Все элементы этой матрицы неотрицательны, а сумма элементов в каждой строке близка к единице.

Нас, прежде всего, будет интересовать решение следующей основной задачи.

Пусть известно начальное состояние С сознания С и заданы вероятности Р одношаговых переходов С С из состояния С в состояние С. Определить вероятности Р переходов С С за Т шагов, т.е. найти матрицы М

(2)

вероятностей Р. Известно [2], что для простой однородной цепи Маркова матрица М вероятностей Р перехода сознания С из состояния С в состояние С за Т шагов равна Т-й степени матрицы М вероятностей Р одношаговых переходов С С:

.

(3)


Марковская математическая модель

Таким образом, для решения основной задачи необходимо найти вид матрицы М, т.е. определить вероятности Р одношаговых переходов между состояниями сознания, представленными в диаграмме состояний и переходов сознания человека в эволюции. Чтобы это сделать, рассмотрим универсальный закон переходов: "Шаг назад – два шага вперед". Предварительно дадим необходимые определения.

Редуцированным состоянием сознания С называется такое состояние, в котором сознание имеет определенный уровень развития, т.е. находится в определенном состоянии С, где К=константа, но имеет неопределенное направление и темп развития, т.е. с вероятностями Р для него возможны все одношаговые переходы С С, где 1К<Л28.

В диаграмме состояний и переходов сознания человека в эволюции представлены только редуцированные состояния сознания.

Виртуальным состоянием сознания С называется такое состояние, в котором сознание имеет определенное направление и темп развития, т.е. совершает некоторый вполне определенный одношаговый переход С С (где К=константа и Л=константа), но имеет неопределенный уровень развития, т.е. находится в неопределенном состоянии "С" на пути от С к С. Однако было бы неоправданным упрощением представление о том, что Н "очень быстро" пробегает все промежуточные значения от К до Л и в буквальном смысле находится где-то между ними, т.е. что К<Н<Л. В действительности переход С С совершается по диалектическим законам, и, в частности, по закону отрицания-отрицания, следовательно, в этом переходе отражаются некоторые (но не все) черты редуцированного состояния С, которое настолько же отстоит от состояния С назад, насколько состояние С отстоит от него вперед. В этом и состоит смысл универсального закона переходов сознания в эволюции. Сформулируем этот закон более подробно.

Пусть совершается одношаговый переход С С (без промежуточных редуцированных состояний) сознания С из редуцированного состояния С в редуцированное состояние С. Величина шага Ш равна:

.

(4)

Виртуальное состояние "С" представляет собой непосредственно сам переход между редуцированными состояниями С и С. Сознание С сначала переходит из редуцированного состояния С в виртуальное состояние "С", подобное по закону отрицания-отрицания редуцированному состоянию С, отстоящему от редуцированного состояния С на один шаг назад:

,

(5)

а затем из виртуального состояния "С" переходит в реальное состояние С, совершая при этом два шага вперед:

.

(6)

Таким образом, универсальный закон переходов "шаг назад – два шага вперед" рассматривает диалектику одношаговых переходов и может быть наглядно представлен в виде простейшего графа:

(7)

Заметим, что в процессе развития сознания редуцированные и виртуальные состояния сознания чередуются подобно тому, как они чередуются в процессе движения элементарной частицы [1]. Диаграмма состояний и переходов сознания человека в эволюции по существу отображает дискретное фазовое пространство состояний и развития сознания. Некоторые из переходов сознания человека в эволюции, построенные на основе универсального закона переходов "Шаг назад – два шага вперед", символически отображены на диаграмме состояний и переходов сознания человека в эволюции в виде графов, построенных, соответственно, на основе графа (7).

Переход С С называется одношаговым, если он совершается без промежуточных редуцированных состояний. Путь развития сознания есть такая последовательность одношаговых переходов, в которой редуцированное состояние – конец каждого предыдущего перехода – представляет собой в то же время начало последующего перехода. Существует большое количество различных путей, ведущих от одного редуцированного состояния сознания к другому.

Получим выражение для числа путей П перехода С С, где 1К<Л28. Для этого необходимо найти связь между П и П, а также между П и П.

От С к С ведут как все те же пути, что и от С к С, но завершающиеся переходом С С, так и все те же пути, что и от С к С, но завершающиеся переходом С С, где 1КР<Л–127, т.е.:

.

(8)

С другой стороны, от С к С ведут как все те же пути, что и от С к С, но начинающиеся переходом С С, так и те же пути, что и от С к С, но начинающиеся переходом СС, где 2К+1<РЛ28, т.е.:

.

(9)

Положим, в выражении (8) Л=К+2, тогда получим:

.

(10)

Переход С С является одношаговым, и, следовательно, существует единственный путь этого перехода:

.

(11)

Далее последовательным применением рекуррентного соотношения (8) получим:

.

(12)

Откуда В=Л–К и

(13)

при 1К<Л28.

Так как возможны только те переходы С С, для которых 1К<Л<28, то

(14)

при КЛ. Объединяя выражения (13) и (14) получим:

.

(15)

Пользуясь выражением (15), определим вероятности Р одношаговых переходов С С сознания С из состояния С в состояние С. Будем считать, что если сознание С исходит из состояния С и стремится как к цели к состоянию С, то вероятность Р одношагового перехода С С в некоторое состояние С равно отношению П числа путей П перехода С С к числу путей П перехода С С:

.

(16)

Это определение вероятности Р связано с мерой целесообразности информации, которая определяется А. А. Харкевичем как изменение вероятности достижения цели при получении дополнительной информации [4].

В определении (16) вероятности Р одношагового перехода С С число путей П перехода С С, очевидно, не должно быть равным нулю:

.

(17)

Но так как согласно выражению (15) это возможно только при К<М, а 1К27, то очевидно, что условие (17) осуществляется для всех К только при М=28. Используя в (16) выражение (15) получим:

-        при 1К<ЛМ=28

;

(18)

-        при КЛ

.

(19)

Итак,

.

(20)

Выражение (20) полностью определяет все элементы матрицы М:

(1)

вероятностей одношаговых переходов. Примечательно, что вероятность Р зависит только от разности аргументов (Л–К), что полностью соответствует определению однородной Марковской цепи [2].

Определим вероятности Р и количества путей П перехода С С сознания С из состояния С в состояние С за Т шагов. Последовательно полагая в выражении (3) Т=2,3,4,…,27 и применяя правила перемножения матриц, получаем для определения вероятностей Р рекуррентную формулу:

,

(21)

где Т=2,3,4,…,27.

Представим Р в виде:

,

(22)

где коэффициенты П определяются следующим образом:

.

(23)

Выражение (23) полностью определяет матрицу П коэффициентов П:

.

(24)

Положим в выражении (21) Т=2 и подставим в него Р из (22), тогда получим:

,

(25)

где

(26)

и, следовательно,

.

(27)

Далее, полагая в выражении (21) Т=3 и подставляя в него Р из (22) и Р из (25), получим:

,

(28)

где

(29)

и

.

(30)

Если в (30) использовать (27), то получим:

.

(31)

Итак, из сравнения выражений (22), (25) и (28) мы видим, что вероятности Р перехода С С сознания С из состояния С в состояние С за Т шагов могут быть представлены в виде:

,

(32)

где коэффициенты П определяются из рекуррентного соотношения:

(33)

и представляют собой элементы матриц П:

.

(34)

При получении выражений (33) и (34) использованы формулы (26), (29) и (27), (31) соответственно.

Рассмотрим выражение (33). Его можно представить в виде:

.

(35)

Но согласно (23) все П в первой сумме выражения (35) равны единице, а во второй нулю, поэтому выражение (35) принимает вид:

.

(36)

Замечаем [3], что выражению (36) удовлетворяют элементы треугольника Паскаля, определяемые по формуле:

,

(37)

где: 1К<Л28; 1ТЛ–К.

Используя выражение (37) для П в (32), окончательно для Р получим:

.

(38)

Заменяя в (37) и (38) факториалы гамма-функциями, получаем обобщения этих выражений для непрерывного случая, более удобные для численных расчетов и построения графиков:

(37*)

,

(38*)

где М=Л–К.

Выражение (38) определяет вероятность Р перехода С С сознания С из состояния С в состояние С за Т шагов и представляет собой основной итог данной работы. По сути, выражение (38*) определяет плотность вероятности нахождения сознания в различных состояниях в зависимости от времени, а значит, может быть названо "Динамическим распределением форм сознания в эволюции".

В полном соответствии с определением однородной цепи Маркова [2] вероятности Р, определяемые выражением (38), зависят только от разности (Л–К) аргументов "Л" и "К" начального и конечного состояний перехода С С и не зависят от пути этого перехода. Из этого, а также из соотношения

,

(39)

справедливость которого легко установить непосредственно используя выражения (37) и (15), следует, что П представляет собой количество путей перехода С С за Т шагов (41,16), а 2 есть вероятность любого из путей этого перехода в отдельности. Следовательно, преимущества одного пути эволюции перед другим (в смысле его большей вероятности) в рамках модели простой (одномерной) цепи Маркова установить невозможно. Для решения этой важнейшей задачи необходимо использование более общей модели сложных цепей Маркова [2], в которых вероятность перехода С С зависит от пути, по которому система пришла в состояние С, а точнее, зависит от М состояний системы, непосредственно предшествующих состоянию С, где М>1.

Однако уже модель простой однородной цепи Маркова позволяет изучить динамику населенности различных состояний сознания в процессе эволюции. Для этого необходимо (используя выражение (38)) произвести вычисление вероятностей Р для всех 1ТЛ–К27.

Заметим также, что числа П называются треугольными, т.к. они указывают количества шаров, которые можно уложить в виде треугольника, а числа П – тетраэдрическими, т.к. эти числа показывают, сколько шаров могут быть уложены в виде треугольной пирамиды-тетраэдра [3]. Эти названия дали им еще в 5 в. до н. э. пифагорейцы, которые изучали числа П, придавая им мистический смысл, возможно, связанный по закону отрицания-отрицания с тем научным смыслом, который придаем этим числам мы.

Результаты численного моделирования

В 1983 году у автора впервые появилась возможность численно просчитать кривые плотности вероятности состояний сознания в эволюции в зависимости от времени в соответствии с выражением (38*) на компьютере Wang-2200C. Полученные кривые, выведенные на графопостроителе, приведены ниже.

Рисунок 2 – Вероятностное распределение состояний сознания в эволюции для разных моментов времени (компьютер Wang-2200С, 1983 г.)

В 1994 году эти же кривые были просчитаны автором на ИБМ – совместимом персональном компьютере (графики и исходный текст программы на языке xBase приведены ниже).

Рисунок 2 – Вероятностное распределение состояний сознания в эволюции для разных моментов времени (компьютер IBM PC, 1994 г.)

Исходный тест программы для численного моделирования на языке xBase:


***********************************************************************
***   ЛУЦЕНКО Е.В. ВЕРОЯТНОСТИ СОСТОЯНИЙ СОЗНАНИЯ В ЭВОЛЮЦИИ 27.11.1994
***********************************************************************
#include "BI_2D.CH"
#include "BI_3D.CH"
#include "BI_FONT.CH"
#include "BI_GEGA.CH"
#include "BI_MENU.CH"
#include "BI_MOUSE.CH"
#include "BI_PCX.CH"
#include "BI_PRN.CH"
#include "BI_STD.CH"
#include "BI_SWAP.CH"
SET DECIMALS TO 15
PUBLIC Disk_name    := DISKNAME()
PUBLIC Cur_dir      := CURDIR()
PUBLIC Disk_dir     := Disk_name+":\"+Cur_dir
PUBLIC FNT_dir      := Disk_dir+"\FNT\"
******************************************************************************
***                                      -м                                ***
***                              Г(м) * 2                                  ***
***                 Р(м,т) = -----------------                             ***
***                           Г(т) * Г(м-т+1)                              ***
***                                                                        ***
***     где: Р(м,т) - вероятность состояния "м" в момент времени "т";      ***
***          Г()    - гамма - функция.                                     ***
******************************************************************************
G_buf=SAVESCREEN(0,0,24,79)
Min_x = 0
Max_x = 15
Sh = 0.1
Min_y = 0
PRIVATE xdata[Max_x/Sh], ydata[Max_x/Sh]
// Инициализация системы BiGraph 3.0/2D
InitGraphics2D(VGA_640x480)
// Установка активности окна
SetCurrentWindow(1)
// Задание "фона" в окне
SetViewBackground(WHITE)
// Задание цвета рамки-окантовки графика
BorderCurrentWindow(BLACK)
// Задание цвета "фона" внутренней области
SetPlotBackground(WHITE)
// Вывод осей и рисок
Set_FrColor(BLACK)
Draw_LineAB(87,56,87,414,BLACK)
Draw_LineAB(87,414,88+508,414,BLACK)
Load_ABCfont(Fnt_dir+"F16.fnt",0);Set_ABCcolor(BLACK,0)
FOR j=1 TO Max_x
    X1 = 88+(j-1)*506/Max_x
    Draw_LineAB(X1,414,X1,417,BLACK)
    Set_ABCxy(X1,422,0);String_ABC(ALLTRIM(STR(j,2)),0)
NEXT
// Надписи по осям координат
Set_FrColor(BLACK)
TitleXAxis("Состояния сознания в процессе эволюции")
TitleYAxis("Вероятность (массовость) состояния сознания")
Load_ABCfont(Fnt_dir+"F16.fnt",0);Set_ABCcolor(BLACK,0)
String = "CopyRight (c) Scientific-industrial enterprise AIDOS, Russia, 1980-1994."
Set_ABCxy(INT((640-Get_ABCstr(String,0))/2),08,0);String_ABC(String,0)
String = "All Rights Reserved."
Set_ABCxy(INT((640-Get_ABCstr(String,0))/2),20,0);String_ABC(String,0)
Load_ABCfont(Fnt_dir+"N24f.fnt",0);Set_ABCcolor(BLACK,0)
String = "РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО СОСТОЯНИЯМ СОЗНАНИЯ В ЭВОЛЮЦИИ"
Set_ABCxy(INT((640-Get_ABCstr(String,0))/2),35,0);String_ABC(String,0)
Time = 7
PRIVATE Maxv[Time],Maxx[Time],Maxy[Time]
AFILL(Maxv,-999999);AFILL(Maxx,0);AFILL(Maxy,0)
Load_ABCfont(Fnt_dir+"F16.fnt",0);Set_ABCcolor(BLACK,0)
K = 506 / Max_x
FOR t = 1 TO Time
    FOR m=t TO 1+Max_x STEP Sh
        Pmt = P(m,t)
        X1 = 88+(m-1)*K
        Y1 = 414-712*Pmt
        X2 = 88+(m-1+Sh)*K
        Y2 = 414-712*P(m+Sh,t)
        IF Pmt > Maxv[t]
           Maxv[t] = Pmt
           Maxx[t] = X1
           Maxy[t] = Y1
        ENDIF
    NEXT
    Draw_LineAB(Maxx[t],Maxy[t],Maxx[t],414,LIGHT_GRAY)
    Set_ABCxy(70,Maxy[t],0);String_ABC(ALLTRIM(STR(Maxv[t]*100,2)),0)
    Draw_LineAB(Maxx[t],Maxy[t],88,Maxy[t],LIGHT_GRAY)
    IF t > 1
       Set_ABCxy(Maxx[t],Maxy[t]-10,0);String_ABC(ALLTRIM(STR(t,2)),0)
    ENDIF
NEXT
Load_ABCfont(Fnt_dir+"F16.fnt",0);Set_ABCcolor(BLACK,0)
String = "Время:     % в МАХ-состоянии:"
Set_ABCxy(350,80,0);String_ABC(String,0)
K = 506 / Max_x
FOR t = 1 TO Time
    FOR m=t TO 1+Max_x STEP Sh
        Pmt = P(m,t)
        X1 = 88+(m-1)*K
        Y1 = 414-712*Pmt
         X2 = 88+(m-1+Sh)*K
        Y2 = 414-712*P(m+Sh,t)
        Draw_LineAB(X1,Y1,X2,Y2,BLACK)
        Draw_LineAB(X1,Y1+1,X2,Y2+1,BLACK)
        Draw_LineAB(X1+1,Y1,X2+1,Y2,BLACK)
        IF Pmt > Maxv[t]
           Maxv[t] = Pmt
           Maxx[t] = X1
           Maxy[t] = Y1
        ENDIF
    NEXT
    String = "T = "+ALLTRIM(STR(t,4))+"        Pmax = "+ALLTRIM(STR(Maxv[t]*100,8,4))
    Set_ABCxy(350,100+(t-1)*20,0);String_ABC(String,0)
NEXT
INKEY(0)
Save_PCX("Pic_09.pcx",480)
Free_ABCfont(0)
Set_TextMode()
RESTSCREEN(0,0,24,79,G_buf)
QUIT
***************** ВЫЧИСЛЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ **********************************
FUNCTION GAMMA(X)
P = 3.141592653589793
D = 1
B = ABS(X)
DO WHILE B > 1
   D = D * B
   B = B - 1
ENDDO
F = (( 0.035868343 * B - 0.193527818 ) * B + 0.482199394 ) * B
F = ((( F - 0.756704078 ) * B + 0.918206857 ) * B - 0.897056937 ) * B
F = (( F + 0.988205891 ) * B - 0.577191652 ) * B + 1
G = F * D / X
IF X > 0
   RETURN(G)
ENDIF
G = P / SIN( P * X ) / D / F
RETURN(G)
******************* ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ P(m,t) ********************************
FUNCTION P(m,t)
RETURN(( GAMMA(m) * 2^(-m) ) / ( GAMMA(t) * GAMMA(m-t+1) ))
************ THE END ************************************

Ограничения предложенной модели и перспективы ее развития

Предложенная математическая модель является упрощенной и не отражает, например, следующее:

- динамику промежуточных состояний, т.е. явлений накопления людей на рубежах перехода к следующим типам сознания и диффузии через эти барьеры (А. А. Босенко, 1984);

- возможных зависимостей вероятностей переходов в различные формы сознания от пути, по которому человек оказался в данном состоянии, а не только от самого состояния (составные цепи Маркова);

- сама матрица вероятностей переходов также скорее всего является функцией времени, причем функцией, зависящей от места на планете или в космосе;

- матрица вероятностей переходов может быть детализирована за счет увеличения ее размерности и количества классифицированных редуцированных состояний сознания, и т.д., и т.д.

Решение этих и других вопросов представляет перспективу дальнейших исследований.

Выводы:

1. Путь развития сознания в процессе развития общества является наиболее массовым.

2. Для каждого этапа развития общества существует определенное наиболее массовое состояние сознания.

3. Существование других путей развития сознания приводит к "размыванию" основного максимума с течением времени, т.е. к тому, что общество становится все более неоднородным по уровню сознания своих членов.

Список литературы

1. Луценко, Е. В. Опыт исследования высших форм сознания / Е. В. Луценко // Высшие формы сознания – высшие технологии [Электронный ресурс]. – Краснодар, 2005. – Режим доступа: http://lc.kubagro.ru/master/index.htm.

2. Тихонов, В. И. Марковские процессы / В. И.Тихонов, М. А. Миронов. – М., 1977.

3. Успенский, В. А. Треугольник Паскаля / В. А. Успенский. – М., 1979.

4. Темников, Ф. Е. Теоретические основы информационной техники / Ф. Е. Темников, В. А. Афонин, В. И. Дмитриев. – М. : "Энергия", 1979. – С. 56–57.

Научный электронный журнал КубГАУ . № 07(15), 2005