Научный электронный журнал КубГАУ . № 03(5), 2004

УДК 622.011.43

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ И ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНО-ВЯЗКОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ

Аршинов Г.А. – канд. физ.-мат. наук

Кубанский государственный аграрный университет

Математическая модель продольных колебаний построена на основе вывода и анализа эволюционных уравнений для линейно-вязкоупругого стержня.

Бесконечный стержень, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий, отнесен к системе координат. Ось x  расположена  вдоль оси стержня, а оси y и  –  в одном из поперечных сечений.

Перемещения точек стержня аппроксимируются с помощью функций

,,,                         (1)

где – соответственно перемещения по осям x, y, z;  – время, – коэффициент Пуассона.

Буквенные индексы переменных функции (1)  определяют частную производную от функции по указанной переменной, т. е.

,                  и т.д.

Конечные деформации стержня задаются  тензором Грина

                                         (2)

а физико-механические свойства  – уравнениями линейной вязкоупругости:

,                         (3)

где  - соответственно компоненты девиаторов напряжений и деформаций;  − среднее напряжение,  - объемное расширение,  − модуль объемной деформации,  - параметр Ламе;  - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е - модуль Юнга; - коэффициент Пуассона.

При условии >>1 интегральные операторы в уравнениях (3) заменяются дифференциальным разложением функции  в ряд Тейлора по степеням  () с сохранением двух слагаемых. В результате получаются приближенные формулы для компонент напряжений

,                                                   (4)

где введен оператор L, определяемый равенством  и действующий на функцию  по правилу , а  − параметр Ламе.

          В развернутом виде:

;

;

;

,

где    

,       ,  ,          ,           ,    .

Уравнения движения стержня выводятся из принципа виртуальных работ:

,                           (5)

где точкой обозначена производная по t, r - плотность материала стержня, - вариации деформаций,  –  вариации перемещений, а тройной интеграл вычисляется по объему стержня.

С учетом (1), (2), (4) определяется вариация внутренней энергии стержня

          +.

Уравнение движения стержня получается  из (5) после подстановки в него значения вариации внутренней энергии

и преобразуется  к безразмерным переменным

                    , , , , ,

где  – амплитудный параметр возмущения, , d – соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны,  – характеристика нелинейности волнового процесса.

Допустим, что  – малый параметр, т.е. характерная длина волны  значительно превосходит амплитудный параметр , а поперечный размер стержня и реологические постоянные  определяют отношения порядков

                                        , .

          В результате сохранения членами порядка не выше  получается безразмерное уравнение движения стержня:

                    .    (6)

Для анализа уравнения (6) применяется метод возмущений. Функция  представляется в виде асимптотического разложения

.                                                          (7)

После подстановки (7) в уравнение (6) и с учетом введенных соотношений порядков в нулевом приближении запишем:

                                .

          Согласно условию , из последнего уравнения определяется скорость распространения продольной волны в линейно-вязкоупругом стержне:

.                                           (8)

Из формулы (8) при , т. е. отсутствии свойства вязкости, вытекает известная формула для скорости распространения продольной волны в линейно-упругом стержне:   .

          Для разрешимости уравнения относительно неизвестной функции  в разложении (7), полученном из первого приближения, необходимо, чтобы u удовлетворяло известному уравнению Кортевега де Вриза – Бюргерса:

,                             (9)

где

,  , .

Точное решение уравнения (9) можно представить:

,

где              

,     ,   ,       ,  имеет знак ,    , .

При    запишем неравенства вида     ,  .

Если в уравнениях выбран верхний знак “+”, то с учетом  и   уравнение примет вид:

где                        .

          Из условия  следует, что ,

где     , а  .

При     .

          Производная  .

          Критические точки функции определяются  уравнением

 ,

и функция  будет максимальна в точке, определенной значением   , являющимся  корнем уравнения    .

Тогда максимальное значение функции

   .

Зависимость деформаций от перемещений

Зависимость деформации от перемещения качественно представлена на рисунке, где введены обoзначения:

При переходе к размерным переменным вычисляется поправка к скорости распространения волны, равная .

Научный электронный журнал КубГАУ . № 03(5), 2004