Продольные нелинейные волны в вязкоупругих стержнях, пластинах и цилиндрических оболочках

Научный электронный журнал КубГАУ . № 02(2), 2003

УДК 539.3:534:532.5

Аршинов Г.А. – канд. физ.-мат. наук, доцент

Кубанский государственный аграрный университет

Исследуются нелинейные дисперсионные волны в тонкостенных элементах конструкций из линейно-вязкоупругого материала наследственного типа. Для стержня и пластины рассмотрен общий случай, когда вязкоупругие свойства проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. Уравнения движения, выведенные методом возмущений, сводятся к эволюционным уравнениям Кортевега де Вриза – Бюргерса для стержня и Кадомцева – Петвиашвили – Бюргерса для пластины и цилиндрической оболочки. Для стержня и пластины использованы неклассические кинематические уравнения, в то время как для оболочки принята модель Кирхгофа – Лява.

Рассмотрим бесконечный стержень неизменного поперечного сечения, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий. Введем систему координат, направив ось вдоль линии центров тяжести поперечных сечений, а оси и расположим в одном из них. Учитывая инерцию поперечных движений, аппроксимируем перемещения точек стержня функциями [1]

, (1)

где – соответственно перемещения по осям x, y, z, – время, - коэффициент Пуассона.

Конечные деформации стержня зададим соотношениями:

(2)

предполагая, что ,

В отличие от [2] рассмотрим общий случай, когда вязкоупругие свойства стержня проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. Воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости для описания наследственных реологических свойств стержня [3]

, (3)

где - соответственно компоненты девиаторов напряжений и деформаций; − среднее напряжение, - объемное расширение, − модуль объемной деформации, - параметр Ламе; - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е - модуль Юнга; - коэффициент Пуассона.

С целью упрощения исследования интегральные операторы в уравнениях (3) заменим дифференциальными разложением функций в ряд Тейлора по степеням (), ограничиваясь при этом двумя слагаемыми, при условии >>1.

В результате получаем приближенные формулы для компонент напряжений

, (4)

где введенный оператор действует на функцию по правилу , а − параметр Ламе.

Формулы (4) представим в развернутом виде:

или

где

, , ,

, , .

Уравнение движения стержня получим из вариационного принципа

, (5)

где точкой обозначена производная по t, r- плотность материала стержня, - вариации деформаций, – вариации перемещений, а тройной интеграл вычисляется по объему стержня.

Вычислим вариации деформаций стержня

Определим вариацию внутренней энергии стержня, используя формулы (4), а также вариации компонент деформации

После преобразований приходим к равенству:

Уравнение движения стержня получим из (5) после подстановки в него значения вариации внутренней энергии:

После преобразования уравнение представим в виде:

В последнем уравнении движения перейдем к безразмерным переменным:

, , , , ,

где – амплитудный параметр возмущения; , d – соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны, – характеристика нелинейности волнового процесса.

Примем допущение, что – малый параметр, т.е. характерная длина волны значительно превосходит амплитудный параметр , а поперечный размер стержня и реологические постоянные определяют отношения порядков

, .

Пренебрегая членами порядка выше, чем , получаем безразмерное уравнение движения стержня:

(6)

Для анализа уравнения (6) применим метод возмущений. Представим функцию в виде асимптотического разложения

(7)

Осуществим подстановку асимптотического разложения (7) в уравнение (6). С учетом введенных соотношений порядков в нулевом приближении получим

Согласно условию , из последнего уравнения найдем скорость распространения продольной волны в линейно-вязкоупругом стержне

. (8)

Из формулы (8) при , т.е. отсутствии свойства вязкости, вытекает известная формула для скорости распространения продольной волны в линейно-упругом стержне:

Для разрешимости уравнения относительно неизвестной функции в разложении (7), полученном из первого приближения, необходимо, чтобы uудовлетворяло известному уравнению Кортевега де Вриза – Бюргерса:

где , , .

С целью исследования распространения нелинейных дисперсионных волн в бесконечной вязкоупругой пластине толщиной 2h, изготовленной из материала наследственного типа и свободной от внешних воздействий, построим математическую модель волнового процесса.

С помощью кинематических соотношений определим компоненты вектора перемещений точек пластины при симметричных по толщине колебаниях и невысоких частотах [2]

v; , (9)

где и v- функции, определяющие поле перемещений в срединной плоскости пластины по осям и соответственно, - перемещения по оси z, - время.

Зададим физические соотношения между напряжениями и деформациями уравнениями линейной наследственной теории вязкоупругости (3), содержащими экспоненциальное разностное ядро, обобщая результаты [2] на тот случай, когда вязкоупругие свойства среды проявляются при объемных и сдвиговых деформациях.

С помощью формулы (9) определим компоненты деформаций по формулам (2) и их вариации . Из закона состояния (3) найдем компоненты тензора напряжений .

Далее, руководствуясь вариационным принципом

где - плотность материала пластины, - вариации деформаций, - вариации перемещений, точкой обозначена производная по времени,

получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины:

= .

= v_xv_y)] + v_y) .

= (10)

+ +

где введены следующие обозначения:

, (11)

, (12)

- поправочный коэффициент.

Для наследственных материалов с быстро затухающей памятью, когда , систему уравнений (10) можно упростить. Заменим в выражениях (11) и (12) интегральные операторы дифференциальными, разлагая функции , в ряды Тейлора по степеням () и сохраняя в полученных разложениях два слагаемых.

В итоге получим аппроксимации

, , (13)

где введены операторы

, ,

действующие на функцию по правилу

, .

Введем ряд обозначений: А – амплитуда колебаний, l – длина волны и – малый параметр, позволяющий нам исследовать длинные волны малой амплитуды.

Заменим в системе (10) и их приближениями (13) и перейдем к безразмерным переменным:

, v = v^*, , , , . (14)

Исследуем безразмерные уравнения движения пластины с помощью асимптотического метода. Неизвестные функции запишем в виде асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:

, v = (v₁ + v₂ +…), . (15)

Если величины , , – одного порядка малости, то разложения (15) можно подставить в безразмерные уравнения движения пластины.

Обозначенные отношения порядков позволяют для первых членов разложений составить следующую систему уравнений:

(16)

= 0, (17)

из которой следует, что

, (18)

где , .

Из уравнения (16) найдем скорость волны с учетом формулы (18):

. (19)

Далее для вторых членов разложений (15) составим систему трех уравнений:

v +

(20)

v = v+ . (21)

v)+

. (22)

В ходе интегрирования уравнения (21) по переменной и с учетом формулы (18) получим равенство v= .

Принимая во внимание последнее равенство и формулу (18), продифференцируем уравнение (22) по и приведем его к виду:

+ (23)

Приравнивая сумму последних трех слагаемых в уравнении (20) к левой части уравнения (23), умноженной на , с учетом выражения (19) можно записать следующее:

v++

В ходе тождественных преобразований последнего уравнения, используя обозначение , получим эволюционное уравнение Кадомцева – Петвиашвили – Бюргерса:

где

Выведем эволюционное уравнение для бесконечной однородной цилиндрической оболочки толщиной и радиуса , выполненной из линейного вязкоупругого материала и работающей в условиях гипотезы Кирхгофа –Лява и отсутствия инерции вращения. Оболочку отнесем к цилиндрической системе координат, направляя ось по образующей оболочки, – по касательной к осевому сечению, – по нормали к срединной поверхности оболочки, и допустим отсутствие объемных и поверхностных сил.

Гипотеза Кирхгофа – Лява приводит к компонентам деформаций [4]:

. (24)

где компоненты перемещения точек срединной поверхности соответственно по осям ; верхний индекс zуказывает на то, что компоненты деформаций определены в слое, удаленном на расстоянии z от срединной поверхности; – кривизна оболочки.

Связь между компонентами напряжения и деформаций зададим уравнениями линейной теории вязкоупругости, учитывающей линейную упругость объемных деформаций:

, (25)

где – модуль Юнга, – параметр Ламе, – коэффициент Пуассона, – время; – параметры вязкоупругости, – компоненты девиатора деформаций.

Разлагая функции в ряд Тейлора по степеням , при условии быстрого затухания памяти материала и сохранения двух членов разложения, из соотношений (25) получим приближенные уравнения состояния:

, , ,

где введены обозначения

и оператор , действующий на функцию по правилу

Используя последние формулы для напряжений, вычислим усилия и моменты, действующие на выделенный элемент оболочки по формулам [4]

, , ,

и подставим усилия и моменты в уравнения движения оболочки

где – плотность материала.

Введем безразмерные переменные

, . (26)

Рассмотрим волны малой амплитуды и большой длины. Будем считать толщину оболочки h малой по сравнению с радиусом кривизны и малыми безразмерные параметры:

, . (27)

Допустим, что эквивалентны , тогда как эквивалентно .

Перейдем в уравнениях движения к безразмерным переменным (26). Совершим замену переменных

где – неизвестная величина,

и одновременно представим в виде следующих асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:

Тогда, полагая параметр эквивалентным , в нулевом приближении из уравнений движения получим:

. (27)

. (28)

, (29)

где .

В силу уравнения (29) из уравнения (27) получаем скорость волны:

(30)

где

При скорость – ненулевая, действительная величина. Из неравенства следует, что Последнее неравенство выполняется, если или что возможно при соответствующем выборе .