Научный электронный журнал КубГАУ . № 02(2), 2003 УДК 539.3:534:532.5 Продольные нелинейные волны в вязкоупругих стержнях, пластинах и цилиндрических оболочках Аршинов Г.А. – канд. физ.-мат. наук, доцент Кубанский государственный аграрный университет Исследуются нелинейные дисперсионные волны в тонкостенных элементах конструкций из линейно-вязкоупругого материала наследственного типа. Для стержня и пластины рассмотрен общий случай, когда вязкоупругие свойства проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. Уравнения движения, выведенные методом возмущений, сводятся к эволюционным уравнениям Кортевега де Вриза – Бюргерса для стержня и Кадомцева – Петвиашвили – Бюргерса для пластины и цилиндрической оболочки. Для стержня и пластины использованы неклассические кинематические уравнения, в то время как для оболочки принята модель Кирхгофа – Лява.
Рассмотрим бесконечный стержень неизменного поперечного сечения, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий. Введем систему координат, направив ось вдоль линии центров тяжести поперечных сечений, а оси и расположим в одном из них. Учитывая инерцию поперечных движений, аппроксимируем перемещения точек стержня функциями [1] , (1) где – соответственно перемещения по осям x, y, z, – время, - коэффициент Пуассона. Конечные деформации стержня зададим соотношениями: (2) предполагая, что , В отличие от [2] рассмотрим общий случай, когда вязкоупругие свойства стержня проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. Воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости для описания наследственных реологических свойств стержня [3] , (3) где - соответственно компоненты девиаторов напряжений и деформаций; − среднее напряжение, - объемное расширение, − модуль объемной деформации, - параметр Ламе; - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е - модуль Юнга; - коэффициент Пуассона. С целью упрощения исследования интегральные операторы в уравнениях (3) заменим дифференциальными разложением функций в ряд Тейлора по степеням (), ограничиваясь при этом двумя слагаемыми, при условии >>1. В результате получаем приближенные формулы для компонент напряжений , (4) где введенный оператор действует на функцию по правилу , а − параметр Ламе. Формулы (4) представим в развернутом виде: , , ,
или , , , , где , , , , , . Уравнение движения стержня получим из вариационного принципа , (5) где точкой обозначена производная по t, r- плотность материала стержня, - вариации деформаций, – вариации перемещений, а тройной интеграл вычисляется по объему стержня. Вычислим вариации деформаций стержня , , , . Определим вариацию внутренней энергии стержня, используя формулы (4), а также вариации компонент деформации
+ +. После преобразований приходим к равенству:
+. Уравнение движения стержня получим из (5) после подстановки в него значения вариации внутренней энергии:
. После преобразования уравнение представим в виде:
. В последнем уравнении движения перейдем к безразмерным переменным: , , , , , где – амплитудный параметр возмущения; , d – соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны, – характеристика нелинейности волнового процесса. Примем допущение, что – малый параметр, т.е. характерная длина волны значительно превосходит амплитудный параметр , а поперечный размер стержня и реологические постоянные определяют отношения порядков , . Пренебрегая членами порядка выше, чем , получаем безразмерное уравнение движения стержня:
(6) Для анализа уравнения (6) применим метод возмущений. Представим функцию в виде асимптотического разложения (7) Осуществим подстановку асимптотического разложения (7) в уравнение (6). С учетом введенных соотношений порядков в нулевом приближении получим . Согласно условию , из последнего уравнения найдем скорость распространения продольной волны в линейно-вязкоупругом стержне . (8) Из формулы (8) при , т.е. отсутствии свойства вязкости, вытекает известная формула для скорости распространения продольной волны в линейно-упругом стержне: . Для разрешимости уравнения относительно неизвестной функции в разложении (7), полученном из первого приближения, необходимо, чтобы uудовлетворяло известному уравнению Кортевега де Вриза – Бюргерса: , где , , . С целью исследования распространения нелинейных дисперсионных волн в бесконечной вязкоупругой пластине толщиной 2h, изготовленной из материала наследственного типа и свободной от внешних воздействий, построим математическую модель волнового процесса. С помощью кинематических соотношений определим компоненты вектора перемещений точек пластины при симметричных по толщине колебаниях и невысоких частотах [2] v; , (9) где и v- функции, определяющие поле перемещений в срединной плоскости пластины по осям и соответственно, - перемещения по оси z, - время. Зададим физические соотношения между напряжениями и деформациями уравнениями линейной наследственной теории вязкоупругости (3), содержащими экспоненциальное разностное ядро, обобщая результаты [2] на тот случай, когда вязкоупругие свойства среды проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. С помощью формулы (9) определим компоненты деформаций по формулам (2) и их вариации . Из закона состояния (3) найдем компоненты тензора напряжений . Далее, руководствуясь вариационным принципом , где - плотность материала пластины, - вариации деформаций, - вариации перемещений, точкой обозначена производная по времени, получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины: = .= vxvy)] + vy) . = (10) + + , где введены следующие обозначения: , (11) , (12) - поправочный коэффициент. Для наследственных материалов с быстро затухающей памятью, когда , систему уравнений (10) можно упростить. Заменим в выражениях (11) и (12) интегральные операторы дифференциальными, разлагая функции , в ряды Тейлора по степеням () и сохраняя в полученных разложениях два слагаемых. В итоге получим аппроксимации , , (13) где введены операторы , , действующие на функцию по правилу , . Введем ряд обозначений: А – амплитуда колебаний, l – длина волны и – малый параметр, позволяющий нам исследовать длинные волны малой амплитуды. Заменим в системе (10) и их приближениями (13) и перейдем к безразмерным переменным: , v = v*, , , , . (14) Исследуем безразмерные уравнения движения пластины с помощью асимптотического метода. Неизвестные функции запишем в виде асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных: , v = (v1 + v2 +…), . (15) Если величины , , – одного порядка малости, то разложения (15) можно подставить в безразмерные уравнения движения пластины. Обозначенные отношения порядков позволяют для первых членов разложений составить следующую систему уравнений: (16) = 0, (17) из которой следует, что , (18) где , . Из уравнения (16) найдем скорость волны с учетом формулы (18): . (19) Далее для вторых членов разложений (15) составим систему трех уравнений: v + (20) v = v+ . (21) v)+ . (22) В ходе интегрирования уравнения (21) по переменной и с учетом формулы (18) получим равенство v= . Принимая во внимание последнее равенство и формулу (18), продифференцируем уравнение (22) по и приведем его к виду:
+ (23) . Приравнивая сумму последних трех слагаемых в уравнении (20) к левой части уравнения (23), умноженной на , с учетом выражения (19) можно записать следующее:
v++ . В ходе тождественных преобразований последнего уравнения, используя обозначение , получим эволюционное уравнение Кадомцева – Петвиашвили – Бюргерса: , где , . Выведем эволюционное уравнение для бесконечной однородной цилиндрической оболочки толщиной и радиуса , выполненной из линейного вязкоупругого материала и работающей в условиях гипотезы Кирхгофа –Лява и отсутствия инерции вращения. Оболочку отнесем к цилиндрической системе координат, направляя ось по образующей оболочки, – по касательной к осевому сечению, – по нормали к срединной поверхности оболочки, и допустим отсутствие объемных и поверхностных сил. Гипотеза Кирхгофа – Лява приводит к компонентам деформаций [4]: . . (24) , где компоненты перемещения точек срединной поверхности соответственно по осям ; верхний индекс zуказывает на то, что компоненты деформаций определены в слое, удаленном на расстоянии z от срединной поверхности; – кривизна оболочки. Связь между компонентами напряжения и деформаций зададим уравнениями линейной теории вязкоупругости, учитывающей линейную упругость объемных деформаций: , , (25)
где – модуль Юнга, – параметр Ламе, – коэффициент Пуассона, – время; – параметры вязкоупругости, – компоненты девиатора деформаций. Разлагая функции в ряд Тейлора по степеням , при условии быстрого затухания памяти материала и сохранения двух членов разложения, из соотношений (25) получим приближенные уравнения состояния: , , , где введены обозначения , и оператор , действующий на функцию по правилу
Используя последние формулы для напряжений, вычислим усилия и моменты, действующие на выделенный элемент оболочки по формулам [4] , , , , , , и подставим усилия и моменты в уравнения движения оболочки . . , где – плотность материала. Введем безразмерные переменные , . (26) Рассмотрим волны малой амплитуды и большой длины. Будем считать толщину оболочки h малой по сравнению с радиусом кривизны и малыми безразмерные параметры: , . (27) Допустим, что эквивалентны , тогда как эквивалентно . Перейдем в уравнениях движения к безразмерным переменным (26). Совершим замену переменных , где – неизвестная величина, и одновременно представим в виде следующих асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:
Тогда, полагая параметр эквивалентным , в нулевом приближении из уравнений движения получим: . (27)
. (28) , (29) где . В силу уравнения (29) из уравнения (27) получаем скорость волны: (30) где При скорость – ненулевая, действительная величина. Из неравенства следует, что Последнее неравенство выполняется, если или что возможно при соответствующем выборе . В первом приближении получим систему уравнений, условием разрешимости которой является уравнение Кадомцева – Петвиашвили –Бюргерса для : , где введены обозначения:
, . Список литературы
1. Работнов Ю.М. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с. 2. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972. 3. Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ им Н.И. Вавилова, 2002, 146 с. 4. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. |
Научный электронный журнал КубГАУ . № 02(2), 2003 |