Научный электронный журнал КубГАУ . № 01(1), 2003

Уединенные волны в физически линейных и нелинейных вязкоупругих стержнях

Аршинов Г.А. Елисеев Н.И.

Кубанский государственный аграрный университет

Метод возмущений применяется для исследования дисперсионных волн в геометрически нелинейных стержнях из линейно- и нелинейно-вязкоупругого материала. Выведены эволюционное уравнение Кортевега де Вриза – Бюргерса для линейно-вязкоупугого и модифицированное уравнение для нелинейно-вязкоупугого стержня.

Построим одномерную модель колебаний, учитывающую в определенной степени инерцию поперечных движений стержня. Отнесем бесконечный стержень неизменного поперечного сечения, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий, к системе координат, направив ось  вдоль оси стержня, а оси y и  расположим в одном из поперечных сечений.

Аппроксимируем перемещения точек стержня функциями [1]

,,,  (1)

где – соответственно перемещения по осям x, y, z,  – время, - коэффициент Пуассона.

Буквенные индексы, которые содержат функции (1), определяют частную производную от функции по указанной переменной, т.е.

,  и т.д.

Конечные деформации стержня зададим соотношениями:

 (2)

где индекс после запятой определяет частную производную от функции по соответствующей переменной, т.е.   , предполагается, что ,  

Для описания реологических свойств стержня воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости [2]

, (3)

где  - соответственно компоненты тензоров напряжений и деформаций;   - объемное расширение,  - символы Кронекера;   - параметры Ламе;  - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е - модуль Юнга; - коэффициент Пуассона.

Для упрощения исследования заменим интегральный оператор в (3) дифференциальным, разлагая функцию  в ряд Тейлора по степеням (). Ограничиваясь двумя слагаемыми, что возможно для >>1, получаем

, (4)

где оператор  и действует на функцию  по правилу .

Формулы (4) можно представить в развернутом виде

или

,

где

, ,

 , , .

Уравнение движения стержня получим из вариационного принципа ,  (5)

где точкой обозначена производная по t, r - плотность материала стержня, - вариации деформаций,  - вариации перемещений, а тройной интеграл вычисляется по объему стержня.

 Вычислим вариации деформаций.

или в операторной форме

.

 Используя формулы (4) и вариации компонент деформации, определим вариацию внутренней энергии:

+

+

+

или

 +.

Подставляя значение вариации внутренней энергии в выражение (5), получим уравнение движения стержня:

.

 После преобразования имеем:

+

.

Перейдем в последнем уравнении к безразмерным переменным

, , , , ,

где  – амплитудный параметр возмущения, , d – соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны,  - характеристика нелинейности волнового процесса и допустим, что  – малый параметр, т.е. характерная длина волны   значительно превосходит амплитудный параметр , а поперечные размер стержня и реологические постоянные  определяют отношения порядков

 ,  .

 Пренебрегая членами порядка выше, чем , получаем уравнение движения стержня:

 (6)

Представим функцию в виде асимптотического разложения

. (7)

Учитывая введенные соотношения порядков и асимптотическое разло-

жение (7), из уравнения (6) в нулевом приближении получим

.

 Так как , то из последнего уравнения следует, что скорость распространения волны

 (8)

 Из первого приближения получаем условие разрешимости уравнения для , которое дает известное уравнение Кортевега де Вриза – Бюргерса:

, (9)

где

,  , .

Как и в линейном случае, рассмотрим бесконечный стержень неизменного поперечного сечения, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий в системе координат с осью , направленной вдоль линии центров тяжести поперечных сечений, и осями , , расположенными в одном из них.

Аппроксимируем перемещения точек стержня функциями (1), а конечные деформации стержня определим формулами (2).

Для описания реологических свойств стержня в отличие от предыдущего случая воспользуемся уравнениями квадратичной теории вязкоупругости [2]

,(10)

где , - параметры Ламе,  - объемное расширение,   - символы Кронекера  - компоненты девиатора деформаций, -физические константы материала,  - интенсивность деформаций.

Для упрощения исследования заменим интегральный оператор в уравнениях (10) дифференциальным, разлагая функцию

в ряд Тейлора по степеням . Ограничиваясь двумя слагаемыми ряда, что возможно для , получаем 

 где введены операторы

, ,

действующие на функцию  по правилу

, .

Вычислим компоненты девиатора деформаций:

,

где  

или

.

Из вариационного принципа (5) получаем уравнение движения стержня, в котором перейдем к безразмерным переменным

, , , , ,

где  – амплитудный параметр возмущения, , d – соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны,  - характеристика нелинейности волнового процесса.

Допустим, что   – малый параметр, т.е. характерная длина волны

 значительно превосходит амплитудный параметр , а поперечные размер стержня и реологические постоянные  определяют отношения порядков

 , , ,

где - характерный размер поперечного сечения.

Опуская звездочки в выражениях для соответствующих безразмерных переменных, получим уравнение движения

+ (11)

+,

где .

Представим функцию  асимптотическим разложением . Подставляя это разложение в уравнение движения (11) и учитывая введенные отношения порядков, в нулевом приближении приходим к уравнению

 ,

 где  - модуль упругости. Так как  то из полученного уравнения скорость распространения возмущения 

Первое приближение дает модифицированное уравнение Кортевега де Вриза – Бюргерса

 (12)

где   ,, , .

Список литературы

 1.Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ, 2002. 152 с.

Научный электронный журнал КубГАУ . № 01(1), 2003